El gran Día de π: 3 de Marzo (a la 1:59).
La fecha 3 de marzo se escribe en inglés como 3/14, coincidiendo con los primeros dígitos de de π. Por esta razón, se celebra este día en honor a la constante matemática. Sin embargo, hoy en día no solo se reconoce como el Día de π, sino también como el Día de las Matemáticas, una designación oficial proclamada durante la 40ª Conferencia General de la UNESCO. (40C/ Resolución 30 de 26 de noviembre de 2019, ver más sobre esto aquí)
3,141592653589793238462643383279502884197 . . .
Pero, ¿Quién es π?. Aunque hay muchas formas de definirlo puede que la más antigua sea como:
el cociente entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro.
El largo camino de π.
La historia conocida de π comienza hace mucho tiempo atrás (puede ser que unos 4000 años) . En el papiro reescrito por el escriba Ahmes, 1660 A.C, en el problema 50 aparece relacionado el área de un círculo con el de un cuadrado, según la información dada en el problema se puede concluir que:
\pi\approx\left(\frac{16}{9}\right)^{2}\approx3,160493la cual es una aproximación excepcional para aquel tiempo.
En este problema 50, se afirma que el área de un círculo coincide con la de un cuadrado, cuyo lado es \frac{8}{9} del diámetro del círculo
A=\pi·r^2 \approx \left(\frac{8}{9}·2r\right)^{2} = \left(\frac{16}{9}\right)^{2} r^2 \\ \quad \\ \qquad \qquad \qquad
\Rightarrow \pi \approx \left(\frac{16}{9}\right)^{2}En la antigua babilonia estimaban que π valía
\pi\approx 3 + \frac{1}{8} =\frac{25}{8} = 3,125 la cual es una aproximación algo peor que la de los egipcios.
Un nuevo método
Algo más de un milenio después, a uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos: Arquímedes, se le ocurrió un nuevo método. Consistía en dibujar dos polígonos con la misma cantidad de lados, uno dentro del círculo unitario (inscrito) y el segundo polígono por fuera de este (circunscrito), entonces el área del círculo debe estar comprendida entre las áreas de estos dos polígonos. Entre más lados tengan los polígonos mejor será la aproximación.
Arquímedes, tras un trabajo monumental lo hizo con polígonos de 96 lados obteniendo la aproximación:
3,1408 \approx \frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7} \approx 3,1428Esta simple pero brillante idea fue utilizada después por Claudio Ptolomeo (siglo II d.c) para obtener la aproximación
\pi \approx \frac{377}{20} \approx 3,1416...Y siglos más tarde, en 1630, el astrónomo austriaco Christoph Grienberger calculó 38 dígitos, usando polígonos con 10^{40} lados (una salvajada), que sigue siendo el mejor cálculo usando este método poligonal.
¿De donde viene su nombre?
El matemático galés William Jones en 1706, comenzó a llamarlo π en su libro Synopsis Palmariorum Matheseos. Jones escogió escogió esta letra por ser la primera de la palabra griega “periferia” (περίμετρος, perímetros). Aunque su uso inicial fue limitado, el gran Leonhard Euler (para mi dentro de los 7 más grandes matemáticos de todos los tiempos) lo popularizó al usar esta notación en en su obra Introduction to the Analysis of the Infinite (1748). A partir de aquí esta se difundió ampliamente, consolidándose en la comunidad matemática.
Uno de los resultados más célebres y fundamentales de Leonhard Euler, demostrado en 1734, establece una sorprendente conexión entre el número π y la suma de los inversos de los cuadrados de todos los números naturales:
\frac{\pi^{2}}{6}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+...Este problema, conocido como la serie de Basilea, había desafiado a matemáticos durante décadas hasta que Euler logró encontrar su solución.
Su hallazgo no solo resolvió un problema abierto, sino que también profundizó la relación entre el análisis matemático y la teoría de números, influyendo en el desarrollo posterior del cálculo y la matemática moderna.
Otras sumas y productos infinitos relacionados con el número π
\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+...\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}·\frac{2}{3}·\frac{4}{3}·\frac{4}{5}·\frac{6}{5}·\frac{6}{7}·\frac{8}{7}·\frac{8}{9}·\frac{10}{9}·\frac{10}{11}...Vendito seas entre todos los números: π
¡Curioso!, pero el nombre de dios aparece en el capítulo 3 versículo 14 de la biblia (enlace). Muchas otras similitudes similares pueden encontrarse. Pero en este sentido, estoy seguro que cualquier patrón puede ser encontrado para cualquier número de nuestro interés. Incluso, no solo en la biblia, sino en cualquier otro libro como el quijote, basta que sea lo suficientemente voluminoso.
A pesar de lo dicho anteriormente, es cierto que por datos encontrados en la biblia y haciendo razonamientos matemáticos pueden calcularse algunas buenas aproximaciones de π. Por ejemplo:
7:23 Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y lo ceñía alrededor un cordón de treinta codos …
7:26 El grueso del mar era de un palmo menor, y el borde era labrado como el borde de un cáliz o de flor de lis; y cabían en él dos mil batos.
Primer libro de los Reyes, 7:23 – 26:
Un palmo menor es una sexta parte de un codo, luego
d = 10 - 2·\frac{1}{6} =\frac{29}{3} \qquad \Rightarrow \qquad \pi \approx \frac{30·3}{29}=\frac{90}{29} \approx 3,1034El Número π es Irracional.
Esto significa que no se puede escribir en forma de fracción. Es decir, no se pueden escribir de la forma a/b donde a y b son enteros, b distinto de cero. Pero, puedes leer más sobre esto aquí.
Bibliografía:
- Eric W. Weisstein – The CRC Encyclopedia of Mathematics (2002). pág. 2228 – 2244.
Nota: Por cierto este día también es el cumpleaños de Einstein (3 – 14).
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