¿Números Complejos? ¿Son realmente difíciles? ¡No! (1)

Tomemos el número complejo z = -1 + \sqrt{3} i entonces para escribirlo en forma trigonométrica necesitamos tanto a su modulo como a su argumento:

|z| = \sqrt{(-1)^2 + \sqrt{3}^2} = \sqrt{4} = 2 

Su argumento puede ser calculado a partir de cualquiera de las siguientes razones

sen(\alpha) = \frac{a}{|w|}, \: cos(\alpha) = \frac{b}{|w|}, \: tg(\alpha) = \frac{b}{a}

donde w = a + b i .

Lo más usual es utilizar la razón trigonométrica tg(.) , pero cualquiera de ellas puede ser utilizada.

tg(\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}, \quad \frac{\pi}{2} < \alpha <\pi \\ \quad \\ 
\qquad \qquad \qquad \qquad  \Rightarrow \quad \alpha=\frac{2\pi}{3}

Hemos tenido en cuenta que el afijo de z está en el 2do cuadrante. Observese que en el cuarto cuadrante hay otro ángulo, \alpha=\frac{5\pi}{3} , cuya tg(.) vale también -\sqrt{3} . En conclusión:

z=2\left[cos\left( \frac{2\pi}{3}\right)+i sen \left(  \frac{2\pi}{3}\right) \right] 

Una forma compacta de escribir la forma trigonométrica de un número complejo z es

|z|_{\alpha}

a la que llamaremos Forma Polar. En esta forma mostramos todos los elementos necesarios para saber quien es este número:

z=|z|_{\alpha} = |z| \left(cos(\alpha)+isen(\alpha)\right)

En el ejemplo del apartado anterior, z = -1 + \sqrt{3} i , escribimos su forma trigonométrica, entonces su forma polar es inmediata

z=2\left[cos\left( \frac{2\pi}{3}\right)+i sen \left(  \frac{2\pi}{3}\right) \right] =2_{\frac{2\pi}{3}}

Por otro lado, realizar multiplicaciones y divisiones con números complejos escritos en forma polar es muy fácil

r_\alpha · s_\theta = (rs)_{\alpha+\theta} 
\\ \quad \\
\frac{r_\alpha}{s_\theta} = \left(\frac{r}{s}\right)_{\alpha-\theta} 

r_\alpha · s_\theta = \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 
\\ \quad
\\ = r  \left[cos(\alpha) + isen(\alpha) \right] · s \left[cos(\theta) + isen(\theta) \right] = \\ \quad \\
=rs\, ( \,\left[cos(\alpha)cos(\theta) - sen(\alpha)sen(\theta) \right] + \qquad \qquad  \\  \qquad 
 \quad i\left[sen(\alpha)cos(\theta) + sen(\theta)cos(\alpha) \right]  ) =\\ 
\quad \\
= rs\left[ cos(\alpha + \theta) + i sen(\alpha+\theta)\right] = \qquad
 \\ \quad \\ =(rs)_{\alpha+\theta} \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad  

Ejemplo:

6_{\frac{\pi}{3}}·3_{\frac{\pi}{4}} = 18_{\frac{7\pi}{12}} \\ \quad \\
6_{\frac{\pi}{3}}:3_{\frac{\pi}{4}} = 2_{\frac{\pi}{12}}

El inverso de z = r_\alpha es

\frac{1}{r_\alpha} = \frac{1_0}{r_\alpha} = \left( \frac{1}{r}  \right)_{-\alpha}

Para el conjugado observemos en la imagen como z y \bar z son simétrico respecto el eje real. Por lo que sus argumentos son opuestos, además

|\bar z|=\sqrt{a^2+b^2} = |z| = r

luego

\bar z =r_{-\alpha}

Ya hemos demostrado antes una fórmula para el producto de dos números complejos en forma polar. Calculando el producto iterativamente de z = r_{\alpha} podemos encontrar una fórmula para su potencia n-ésima:

• z^2 = r_{\alpha} · r_{\alpha} =(r·r)_{\alpha + \alpha} = r^{2}_{2\alpha}
• z^3 = z^2·z = (r^2)_{2\alpha} · r_{\alpha} =(r^2·r)_{2\alpha + \alpha} = (r^{3})_{3\alpha}

De esta forma podemos deducir la Fórmula de Moivre como

z^n = (r^n)_{n\alpha} = r^n[cos(n\alpha)+isen(n\alpha)]  

Ejemplo: Si z = -1 + \sqrt{3} i calcula z^7 .

Ya tenemos del apartado anterior que z = 2_{\frac{2\pi}{3}} entonces por la Fórmula de Moivre

z^7 = (2^7)_{7·\frac{2\pi}{3}} = 128_{\frac{14\pi}{3}} = 128_{\frac{2\pi}{3}} 

para la última igualdad observemos que {\frac{14\pi}{3}} = 2·(2\pi) + {\frac{2\pi}{3}} luego {\frac{14\pi}{3}} y {\frac{2\pi}{3}} son coterminales, concretamente el primero se obtiene del segundo al dar dos vueltas ( 2·(2\pi) ) en sentido antihorario.