¿Números Complejos? ¿Son realmente difíciles? ¡No! (1)

Casi todas las ampliaciones numéricas han estado precedidas por la imposibilidad de resolver ciertas ecuaciones algebraicas en los conjuntos numéricos conocidos hasta entonces, y este también es el caso. Por ejemplo, sin los números enteros la ecuación

x+8=3

no tiene solución. Sin los números racionales la ecuación

3x=2

no tiene solución. Y sin los números complejos la ecuación

x^2 = -4

no tiene solución.

No obstante, decimos casi todas porque la verdadera necesidad de la ampliación numérica hasta los números reales no fue por la necesidad de resolver ciertas ecuaciones algebraicas. En ese caso, la justificación hay que buscarla en cuestiones del análisis matemático, por ejemplo en la demostración de ciertas propiedades de las funciones continuas. Si quiere sigue leyendo aquí sobre el tema. Pero, podemos decir también que sin los números reales la ecuación

x^2 = 2

no tiene solución.

2.1) Todo número real al cuadrado es no negativo.

En los números reales se cumple que todo número al cuadrado no es negativo. Esto es, que no existe un número real tal que

x^2 = -1

Pero mucho antes de que necesitáramos que un objeto matemático multiplicado por si mismo tome el valor -1, ese objeto matemático estaba ahí. Más bien, ha estado ahí desde siempre, solo teníamos que darle un nombre: i :

i^2 = -1

Este objeto matemático tendría alguna relevancia matemática si al incorporarlo al conjunto de los números reales se obtuviese una teoría matemática “significativa”. Y este ha sido el caso.

1. que se tengan las operaciones definidas en los números reales: suma y multiplicación, y
2. que se sigan cumpliendo las propiedades que se cumplen allí.

2.2) Operaciones básicas con la unidad imaginaria.

Las multiplicaciones entre los números reales y este objeto matemático debemos dejarlas representadas. No debemos esperar que nos den otro número real, esto es que

7·i=7i \qquad 3·i=3i \qquad 11·i=11i

Al sumar un número real a productos como los anteriores solo las podemos dejar representadas también

5+7i \qquad 8+3i \qquad 2+11i

El conjunto de los números complejos está formado por todos los elementos de la forma anterior:

\mathbb{C} = \{ a+bi| \quad a,b\in\mathbb{R}\}  

Quiero destacar que no me gusta poner i =\sqrt{-1} porque en realidad

(\pm i)^2 =i^2=-1

entonces \sqrt{-1} = \pm i .

En un número complejo z = a + bi el número real a es llamado parte real de z y el número real b es llamado parte imaginaria y escribimos

a = Re(z), \qquad b=Im(z)

Decimos que el número complejo

z=a+bi

está escrito en forma binómica y podemos observar que está determinado por un par de números reales (a, b) \in \mathbb{R}^{2} .

Por otro lado, debemos destacar que dos números complejos son iguales si tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria.

a+bi=c+di \quad \Leftrightarrow \qquad \\ \qquad \quad a=c, \quad b=d

Todas las potencias de i dan como resultado 1 , i , -1 o -i .

Todo número natural n se puede escribir como n = 4k + r siendo r=0, 1, 2 \, o \, 3 y k otro número natural. Entonces

i^n = i^{4k+r} = (i^4)^k ·i^r =1^k·i^r = i^r

Por ejemplo:

40 = 4·10 + 0 \qquad \qquad \\ \qquad \\ i^{40} = (i^4)^{10}=1^{10}=1 \\ \quad \\ \quad \\ 73 = 4·18 + 1 \qquad \qquad \\ \qquad \\ 
i^{73} = (i^4)^{18}·i=1·i=i 

18 = 4·4 + 2  \qquad \qquad \\ \qquad \\ i^{18} = (i^4)^4·i^2 =i^2 =-1 \\ \quad\\ \quad \\ 27 = 4·6 + 3 \qquad \qquad \\ \qquad \\
i^{27} =(i^4)^6·i^3=i^3=-i

Sumar y restar números complejos en forma binómica es muy fácil, de hecho esta es la forma en que debe ser realizada.

A efectos prácticos un número complejo debe ser entendido como un polinomio de primer grado en la variable i (de aquí el nombre de: forma binómica). Un par de ejemplo de esta operación:

(2 + 5i) + (7 - 3i) = (2 + 7) +(5-3)i  \\
\qquad \qquad = 9+2i 

(2 + 5i) - (7 - 3i) = (2 - 7) +(5+3)i \\
\qquad \qquad = -5+8i 

En el caso del producto de números complejos debemos tener en cuenta la propiedad distributiva:

(2 + 5i) · (7 - 3i) = 14-6i+35i-15i^2 =\\
=14+29i+15=29+29i 

Para la división el proceso es un pelín más laborioso, nos debe recordar un tanto al proceso de racionalización, al final \pm i = \sqrt{-1} .

\frac{2 + 5i}{7 - 3i} =\frac{(2 + 5i)(7+3i)}{(7 - 3i)(7+3i)} = \qquad \qquad \\ \quad \\
=\frac{(14-15)+(6+35)i}{49 +9} = \\ \quad
\\ = \frac{-1+41i}{58} = \frac{-1}{58} + \frac{41}{58}i

De forma general, si en una división el divisor es el número complejo z = a + bi entonces debemos multiplicar y dividir por su conjugado:

\bar z = a-bi

Conjugado: es el término que utilizamos para referirnos al número complejo que se obtiene al cambiar el signo a la parte imaginaria de otro número complejo z . Y que en este caso denotamos por \bar z .

En realidad, parece que todo es un invento. Pero soy de los que piensan, es más, estoy convencido que todo estaba ahí hasta que lo descubrimos.

No discuto, que los nombres, las notaciones y las formas en las que sapiens habla de ello lo hemos inventado. Pero todo, estaba ahí.

Incluso la forma en la que se expone aquí es muy artificiosa, queremos que…, exigimos que…, ahora ponemos…

Pero los números complejos, se pueden definir de una forma más formal. A partir, de otras estructuras más familiares.

En \mathbb{R}^{2} := \{ (a,b) | \quad a,b\in \mathbb{R} \} podemos definir las operaciones

(1) \, (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) \quad \\ \quad \\
(2) \, (a,b) · (c,d) = (ac-bd, ad + bd) \\ \quad \\
(3) \, t·(a,b) =(ta,tb) \qquad \qquad \qquad

y a partir de aquí, no es necesario decir casi nada más. Todo lo demás es obtenido a partir de demostraciones matemáticas.

Las operaciones (1) y (2) cumplen las propiedades que cumplen la suma y el producto de números reales (esto se puede demostrar).

Entonces podemos definir los números complejos como los elementos de \mathbb{R}^{2} con las operaciones (1) y (2). La operación (3), no nos interesa en esta estructura numérica. La hemos incluido para justificar la notación que sigue.

Los siguientes números complejos los denotamos por:

i=(0,1), \qquad 1=(1,0)

entonces cualquier número complejo

(a,b)=a·(1,0)+b·(0,1)=a·1+b·i=a+bi

en el último paso, y como es costumbre, hemos omitido la multiplicación por 1 .

Podemos definir los números complejos como el conjunto

\mathbb{C} =\left\{ \left.\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
-b & a
\end{array}\right)\right|\quad a,b\in\mathbb{R}\right\}   

con el producto y suma usual de matrices. Añadiendo también el producto de un escalar por una matriz.

Haciendo como antes

i=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{array}\right) \qquad 1=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)

entonces cualquier número complejo puede ser escrito de la forma

\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
-b & a
\end{array}\right) =a·\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right) + b· \left(\begin{array}{cc}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{array}\right) \\ \quad \\ =a·1+b·i=a+bi \qquad

En particular

Realiza las siguientes operaciones combinadas con números complejos

a) \quad  \frac{41i ·(1- 2i)}{4 -5i}+(3+2i)+\frac{i^{97}- 3i^{27}}{2i^{42}}=  

Solución: El primer consejo es estar muy atento a las simplificaciones y no es conveniente, como regla general, sacar mínimo común múltiplo de los denominadores. Calculamos por separado el primer y tercer término:

\frac{41i ·(1- 2i)}{4 -5i}= \frac{41i ·(1- 2i)(4 +5i)}{16+25} = \\ \quad \\
= i ·(4+10+5i- 8i) = 3 + 14i

<<Este resultado lo puedes comprobar en WolframAlpha, puede ocurrir que el “Resultado” no esté del todo desarrollado pero si haces “clic” sobre el obtienes ya la respuesta final.>>

En el tercer término, calculamos cada una de las potencias de la unidad imaginaria que aparecen i^{97} = (i^4)^{19}·i = i , i^{27} = (i^4)^{6}·i^3 = -i y i^{42} = (i^4)^{10}·i^2 = -1 luego

\frac{i^{97}- 3i^{27}}{2i^{42}} = \frac{i+3i}{-2} = \frac{4i}{-2} = -2i

Solo resta agrupar los términos:

(3 + 14i) + (3+2i) + (-2i) = 6 + 14i