¡Navegantes! Teorema de Ceva y Menelao
Introducción
Menelao de Alejandría (70-130 d.C.), matemático e ingeniero, fue estudiante y miembro de la Universidad de Alejandría antes de ser llamado a Roma como astrónomo. Su obra, la Sphaerica, preservada en árabe, consta de tres libros. El tercero presenta el célebre Teorema de Menelao, inicialmente formulado para el plano y utilizado para demostrar un equivalente en triángulos esféricos. Comentaristas sugieren que Menelao pudo haber conocido este teorema previamente o haberlo demostrado en escritos perdidos, destacando su relevancia en la geometría y astronomía de la época.
Menelao (70-130 dc) Imagen divulgamat.net
Giovanni Ceva (Milán, 1648 – Mantote, 1734) fue un matemático e ingeniero italiano que realizó trabajos sobre mecánica y geometría. Su contribución más importante es el Teorema de Ceva. Este teorema está estrechamente relacionado con el teorema de Menelao que había caído en el olvido y que fue republicado por Ceva en 1678.
Teorema de Menelao
| Teorema de Menelao: a) Si una linea recta interseca los lados \small BC, \small CA y \small AB de un triángulo \small \triangle ABC en los puntos \small L, \small M y \small N respectivamente entonces: \qquad \qquad \qquad \frac{AN}{NB}\cdot\frac{BL}{LC}\cdot\frac{CM}{MA}=1 b) Recíprocamente, si \small L, \small M y \small N son tres puntos sobre los lados \small BC, \small CA y \small AB de un triángulo \small \triangle ABC para los que se cumple la relación anterior, entonces estos son colineales. |
Demostración de a)
Bajemos las perpendiculares desde los puntos \small A, \small B y \small C a la recta \small LM, y nombremos a los pies de estas perpendiculares por \small P, \small Q y \small R respectivamente.
La demostración se basa en sustituir las razones que intervienen en la fórmula por razones en las que intervienen los segmentos \small AP, \small BQ y \small CR, al tener en cuenta la semejanza de los triángulos:
\triangle BQN \simeq \triangle APN \quad \triangle APM\simeq \triangle CRM \quad \triangle BQL\simeq \triangle CRL
Figura 1:
Expande para ver la justificación de estas semejanzas
La semejanza de estos pares de triángulos se justifica a partir del criterio ángulo-ángulo. Para cada par de triángulos, en las dos primeras semejanzas (Figura 2), se tiene que:
- cada uno de los triángulos tiene un ángulo recto y
- tienen un par de ángulos opuestos por el vértice (y por tanto iguales).
En cambio, para la tercer semejanza, se tiene que a) cada uno de los triángulos tiene un ángulo recto y b) tienen otro ángulo común. (Figura 3)
Se tienen entonces las siguientes proporciones:
\frac{AN}{NB} = \frac{AP}{BQ}, \qquad \frac{CM}{MA}=\frac{CR}{AP}, \qquad \frac{BL}{LC}=\frac{BQ}{CR}y
\frac{AN}{NB} ·\frac{CM}{MA}·\frac{BL}{LC}=\frac{AP}{BQ}·\frac{CR}{AP}·\frac{BQ}{CR} =1Figura 2:
Figura 3:
Demostración de b)
Partimos de que \small L, \small M y \small N son tres puntos sobre los lados \small BC, \small CA y \small AB respectivamente y que cumple que la fórmula del teorema:
\begin{equation}
\frac{AN}{NB}\cdot\frac{BL}{LC}\cdot\frac{CM}{MA}=1
\end{equation}Denotemos ahora por \small L', la intersección de la recta \small NM con el lado \small BC. Entonces por a) se debe cumplir que
\begin{equation}
\frac{AN}{NB}\cdot\frac{BL'}{L'C}\cdot\frac{CM}{MA}=1
\end{equation}
Figura 4:
(1) \, y \, (2) \Rightarrow \frac{BL}{LC} = \frac{BL'}{L'C} \Rightarrow \frac{BL-LC}{LC} = \frac{BL'-L'C}{L'C}
de aquí se deduce que L y L' están al mismo lado de la prolongación del lado BC y que
\frac{BL-LC}{LC} = \frac{BL'-L'C}{L'C} \Rightarrow \frac{BC}{LC} = \frac{BC}{L'C} \Rightarrow LC=L'C
luego L y L' coinciden.
El Teorema de Menelao es en ocasiones enunciado desde el punto de vista de segmentos orientados. Aquí omitimos el signo de los segmentos.
Teorema de Ceva
Definición: Se llama ceviana a cualquier recta (o segmento) que pasa por el vértice de un triángulo (hasta un punto del lado opuesto o prolongación de este). El pie de la ceviana es su intersección con el lado opuesto o su prolongación.
| Teorema de Ceva: a) Dado el triángulo \small \triangle ABC en el cual se han trazado las cevianas \small AP_{A}, BP_{B} y \small CP_{C} concurrentes en el punto \small P, entonces se cumple que: \qquad \qquad \qquad \frac{AP_C}{P_CB}\cdot\frac{BP_A}{P_AC}\cdot\frac{CP_B}{P_BA}=1 \qquad (I) b) Recíprocamente, si para tres cevianas (no paralelas) \small AP_A, \small BP_B y \small CP_C se cumple \small (I), entonces estas son concurrentes. |
Demostración de a)
Los triángulos \small {\color{olive}{\color{green}\triangle BAP_{A}}} y \small {\color{blue}\triangle CAP_{A}} (Figura 3) comparten alturas, al igual que los triángulos \small{\color{olive}{\color{green}\triangle BPP_{A}}} y \small {\color{blue}\triangle CPP_{A}}, (Figura 4). Entonces, la razón entre sus áreas coincide con la razón entre sus bases, \small BP_A y \small P_AC:
\frac{BP_{A}}{P_{A}C} =\frac{{\color{green}\left[\triangle BAP_{A}\right]}}{{\color{olive}{\color{blue}\left[\triangle CAP_{A}\right]}}}=\frac{{\color{green}\left[\triangle BPP_{A}\right]}}{{\color{black}{\color{blue}\left[\triangle CPP_{A}\right]}}}Figura 3:
Figura 4
Teniendo en cuenta las propiedades de las proporciones (\small \frac{a}{b}=\frac{c}{d} =\frac{a-c}{b-d}) tenemos que:
\frac{BP_{A}}{P_{A}C} =\frac{{\color{green}\left[\triangle BAP_{A}\right] -\left[\triangle BPP_{A}\right]}}{{\color{blue}{\color{blue}\left[\triangle CAP_{A}\right]-\left[\triangle CPP_{A}\right]}}}
\\ \quad \\
=\frac{{\color{green}\left[\triangle BPA\right]} }{{\color{blue}\left[\triangle CPA\right]}}=\frac{{\color{green}S_{c} }}{{\color{blue}S_{b}}}Figura 5:
Figura 6:
De forma análoga, tenemos las mismas relaciones para las otras dos razones:
\frac{CP_{B}}{P_{B}A}=\frac{\left[\triangle CPB\right]}{{\color{green}\left[\triangle APB\right]}}=\frac{S_{a}}{{\color{green}S_{c}}}
\qquad
\frac{AP_{C}}{P_{C}B}=\frac{{\color{blue}\left[\triangle APC\right]}}{\left[\triangle BPC\right]}=\frac{{\color{blue}S_{b}}}{S_{a}}y el resultado sigue de
\frac{BP_{A}}{P_{A}C}\cdot\frac{CP_{B}}{P_{B}A}\cdot\frac{AP_{C}}{P_{C}B}=\frac{S_{c}}{S_{b}}·\frac{S_{a}}{S_{c}}·\frac{S_{b}}{S_{a}}=1
Demostración de b)
Sea \small P el punto de corte de las cevianas \small AP_{A} y \small BP_{B} . Tracemod entonces, la cevian \small CL que pasa por el punto \small P . Entonces tenemos por a) y por hipótesis que
\frac{BP_{A}}{P_{A}C}\cdot\frac{CP_{B}}{P_{B}A}\cdot\frac{AL}{LB}=1, \qquad
\frac{BP_{A}}{P_{A}C}\cdot\frac{CP_{B}}{P_{B}A}\cdot\frac{AP_{C}}{P_CB}=1de donde \small \frac{AL}{LB}=\frac{AP_C}{P_CB} .
\frac{AL}{LB}=\frac{AP_C}{P_CB} \quad \Rightarrow \frac{AL+LB}{LB}=\frac{AP_C+P_CB}{P_CB} \Rightarrow \\ \quad \\
\Rightarrow \frac{AB}{LB}=\frac{AB}{P_CB} \Rightarrow LB=P_CB \Rightarrow L=P_C
