Consideremos fijado un sistema de ejes cartesiano, esto es ejes ortogonales entre sí que concurren en el punto de origen.

Cuando hablamos de la ecuación de una recta hacemos referencia a una igualdad o igualdades que establecen restricciones en los valores de las variables x e y.

Estas igualdades solo las satisfacen los puntos con coordenadas  (x, y)  que estén sobre la recta, al ser esta representada en un sistema de ejes cartesiano. Ver imagen y cálculos a continuación.

Ya Euclides en el siglo III A.C. asumió entre sus axiomas de la geometría que por dos puntos en el plano pasa una única recta.

En matemáticas un axioma es una afirmación que se asume valida y en la geometría de Euclides se consideraron aquellos que su validez era «obvia». Aquí, como ocurre en las matemáticas del colegio y/o instituto la geometría que asumimos es la euclidiana, es decir consideramos todos sus axiomas como validos. Entre ellos el “controvertido” 5to postulado: Por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela a la recta dada. Puedes leer sobre esto aquí.

P(10, 6) \qquad -x+2y = 2
\\ \quad \\
-(10)+2·6=-10+12=2

El punto (10, 6) está sobre esta recta.

P(7, 4) \qquad -x+2y = 2
\\ \quad \\
-(7)+2·4=-7+8=1

El punto (7, 4) NO está sobre esta recta.

Consideremos la recta r de la que conocemos que pasa por el punto \textcolor{orange}{P_0(x_0, y_0)} conocido y tiene vector director \textcolor{green}{\overrightarrow{d} = (a, b)} también conocido. Entonces al tomar un punto cualquiera \textcolor{blue}{P(x, y)} sobre la recta podemos tener la siguiente relación vectorial:

\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_0} + \overrightarrow{P_0P}

Pero como los vectores \textcolor{green}{\overrightarrow{d}} y \overrightarrow{P_0P} tienen la misma dirección entonces

\overrightarrow{P_0P}= \lambda \textcolor{green}{\overrightarrow{d}} \qquad \Rightarrow \qquad \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_0} + \lambda \textcolor{green}{\overrightarrow{d}}

Escribiendo la relación anterior a partir de las coordenadas de estos vectores tenemos la Ecuación Vectorial

\textcolor{orange}{(x,y)=(x_0,y_0)+\lambda(a,b)}

Observemos que

\overrightarrow{OP} = (x-0,y-0)=(x,y) 

\overrightarrow{OP_0} = (x_0-0,y_0-0)=(x_0,y_0) 

Ejemplo

Encontrar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P_0(3, -5) y tiene vector director \overrightarrow{d} = (2, -1)

Solución: Ecuación Vectorial

\textcolor{orange}{(x, y)=(3,-5)+\lambda(2,-1)}

Las ecuaciones de la recta pueden ser obtenidas unas de otras.

Si partimos de la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto \textcolor{orange}{P_0(x_0, y_0)} y vector director \textcolor{green}{\overrightarrow{d}=(a , b)} y agrupamos el lado derecho de la ecuación

\begin{array}{ll}
(x,y) & =(x_{0},y_{0})+\lambda(a,b)\\
 & =(x_{0}+\lambda a,y_{0}+\lambda b)
\end{array}

Entonces obtenemos la Ecuación Paramétrica de la recta

\left\{ \begin{array}{l}
x=\textcolor{orange}{x_{0}}+\lambda \textcolor{green}{a}\\
y=\textcolor{orange}{y_{0}}+\lambda \textcolor{green}{b}
\end{array}\right.

Ejemplo

Encontrar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto P_0(3, -5) y tiene vector director \overrightarrow{d} = (2, -1) . Solución: Ecuación Paramétrica

\left\{ \begin{array}{l}
x=\textcolor{orange}{3}+\textcolor{green}{2} \lambda \\
y=\textcolor{orange}{-5} \textcolor{green}{-} \lambda
\end{array}\right.

Para obtener la ecuación continua que pasa por el punto \textcolor{orange}{P_0(x_0, y_0)} y tiene vector director \textcolor{green}{\overrightarrow{d}=(a , b)} basta despejar λ en ambas ecuaciones (de la ecuación paramétrica) e igualar las dos expresiones obtenidas

\lambda=\frac{x-x_{0}}{a} \qquad \lambda=\frac{y-y_{0}}{b} 

Obteniendo entonces, la Ecuación Continua

\frac{x-\textcolor{orange}{x_0} }{\textcolor{green}{a} } =\frac{y-\textcolor{orange}{y_0} }{\textcolor{green}{b} } 

Ejemplo

Encontrar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto P_0(3, -5) y tiene vector director \overrightarrow{d} = (2, -1)

\frac{x-\textcolor{orange}{3} }{\textcolor{green}{2} } =\frac{y+\textcolor{orange}{5} }{\textcolor{green}{-1} } 

Si en la ecuación continua despejamos a y - y_0 obtenemos

y-\textcolor{orange}{y_0} = \textcolor{green}{\frac{b}{a}} (x-\textcolor{orange}{x_0}) 

El número \textcolor{green}m =\textcolor{green}{\frac{b}{a}} le llamamos pendiente de la recta

y-\textcolor{orange}{y_0} = \textcolor{green}{m} (x-\textcolor{orange}{x_0}) 

y esta es la Ecuación Punto Pendiente de la recta que pasa por el punto \textcolor{orange}{P_0(x_0, y_0)} y tiene pendiente \textcolor{green}{m} .

Observemos que si θ es el ángulo que forma el vector director con el eje X, tenemos que

m=\frac{b}{a} = tg(\theta)

Ejemplo

Encontrar la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por el punto P_0(3, -5) y tiene pendiente m = \frac{-1}{2}

y+\textcolor{orange}{5} = \textcolor{green}{-\frac{1}{2}} (x-\textcolor{orange}{3})

Al despejar la variable y en la ecuación punto pendiente

y = \textcolor{green}{m} (x-\textcolor{orange}{x_0}) + \textcolor{orange}{y_0} = \textcolor{green}{m}x + ( \textcolor{orange}{y_0}-\textcolor{green}{m}\textcolor{orange}{x_0}) = 
\\ \quad \\
\qquad \qquad  \quad = \textcolor{green}{m}x +n

obtenemos la Ecuación Explicita de la recta

y = \textcolor{green}{m}x +n

Ejemplo

Encontrar la ecuación explicita de la recta que pasa por el punto P_0(3, -5) y tiene pendiente m = \frac{-1}{2}

Solución 1: La ecuación explicita debe tener la forma

y = \textcolor{green}{-\frac{1}{2}} x + n

y el punto P_0(3, -5) la debe satisfacer, por lo que se cumple

-5 = \textcolor{green}{-\frac{1}{2}}·3 + n  \quad \Rightarrow \quad n= -\frac{7}{2}

y la ecuación es

y = \textcolor{green}{-\frac{1}{2}} x -\frac{7}{2}

Solución 2 (Preferida): Escribir la ecuación punto pendiente y despejar la variable y

y+\textcolor{orange}{5} = \textcolor{green}{-\frac{1}{2}} (x-\textcolor{orange}{3}) \Rightarrow y = \textcolor{green}{-\frac{1}{2}} x+\frac{3}{2} -5 \\ \quad \\
y = \textcolor{green}{-\frac{1}{2}} x -\frac{7}{2}

Regresemos a la ecuación continua

\frac{x-\textcolor{orange}{x_0} }{\textcolor{green}{a} } =\frac{y-\textcolor{orange}{y_0} }{\textcolor{green}{b} }   

Si multiplicamos en cruz y pasamos todo al mismo lado obtenemos

\textcolor{green}{b} (x-\textcolor{orange}{x_0}) - \textcolor{green}{a}(y-\textcolor{orange}{y_0} ) =0

Entonces si definimos \textcolor{blue}{A} = \textcolor{green}{b} y \textcolor{blue}{B} = \textcolor{green}{-a} podemos escribir que

\textcolor{blue}{A} (x-\textcolor{orange}{x_0}) + \textcolor{blue}{B}(y-\textcolor{orange}{y_0} ) =0

que llamamos Ecuación Normal de la recta.

\textcolor{blue}{\overrightarrow{n}} =( \textcolor{blue}{A},  \textcolor{blue}{B})

\textcolor{blue}{\overrightarrow{n}} · \textcolor{green}{\overrightarrow{d}} = ( \textcolor{blue}{A},  \textcolor{blue}{B}) · ( \textcolor{green}{a},  \textcolor{green}{b}) 
=\textcolor{blue}{A}· \textcolor{green}{a}+ \textcolor{blue}{B}·\textcolor{green}{b}=
\\ \quad \\
=\textcolor{green}{b}· \textcolor{green}{a}-\textcolor{green}{a}·  \textcolor{green}{b} = 0

Ejemplos

Encontrar la ecuación normal de la recta que pasa por el punto P_0(3, -5) y tiene vector normal \overrightarrow{n} = (1, 2)

Solución:

(x-\textcolor{orange}{3}) + \textcolor{blue}{2}(y+\textcolor{orange}{5} ) =0

La última de las ecuaciones que analizamos aquí la obtenemos a partir de la ecuación normal

\textcolor{blue}{A}x + \textcolor{blue}{B}y +  (-\textcolor{blue}{A}\textcolor{orange}{x_0}-\textcolor{blue}{B}\textcolor{orange}{y_0} ) =0

y renombrando, escribimos

\textcolor{blue}{A}x + \textcolor{blue}{B}y +  C=0

llamándola Ecuación Implícita o General de la recta.

Ejemplo

Encontrar la Ecuación General de la recta que pasa por el punto P_0(3, -5) y tiene vector normal \overrightarrow{n} = (1, 2)

Solución 1: Escribimos la Ecuación Normal y desarrollamos

(x-\textcolor{orange}{3}) + \textcolor{blue}{2}(y+\textcolor{orange}{5} ) =0 

Obteniendo la ecuación implícita

x + \textcolor{blue}{2}y +7 = 0 

Ejercicio 1: Dados los puntos A(3, 2) , B(6, 8) y C(10, 4) que determinan el triángulo \triangle ABC . Encuentra las ecuaciones de

Solución a 1.a:

Calculamos la altura bajada al lado BC que es perpendicular a este lado y pasa por el punto A .

Entonces disponemos para esta recta de un vector normal y un punto por donde pasa:

\textcolor{blue}{\overrightarrow{n}} =\overrightarrow{BC} =(\textcolor{blue}{4},  \textcolor{blue}{-4}) \qquad \textcolor{orange}{A(3, 2)}

La ecuación de la recta que podemos dar directamente es la ecuación normal

\textcolor{blue}{4} (x-\textcolor{orange}{3})  \textcolor{blue}{-4}(y-\textcolor{orange}{2} ) =0

si desarrollamos, obtenemos la Ecuación General

\textcolor{blue}{4}x \textcolor{blue}{-4}y - 4=0

o mejor

x \textcolor{blue}{-}y - 1=0