Matemáticamente es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas. En las que están involucradas una o varias variables. Para ellas debemos encontrar la región de la recta recta real, el plano, el espacio o el hiperespacio, según el número de variables involucradas, donde se satisface dicha desigualdad.

Las inecuaciones más fáciles de resolver son las que dependen de una sola variable y lineales, es decir las expresiones algebraicas involucradas son polinomios de grado 1.

3x - 5 \geq x + 3 \Leftrightarrow 2x \geq  8 \Leftrightarrow x \geq 4   \\ \quad \\Solución: \quad x \in [4, \infty) 

Observemos que si un número x lo multiplicamos o dividimos por -1 este cambia de signo:

x \geq 0 \Leftrightarrow -x \leq 0

Entonces las inecuaciones seguirán siendo equivalentes si le aplicamos las mismas transformaciones que aplicamos al resolver ecuaciones lineales. Salvo una transformación:

• Al multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad.

-3x \textcolor{red}\geq 9 \Leftrightarrow x \textcolor{red}\leq  \frac{9}{-3}  \Leftrightarrow x \leq -3

Lo primero que debemos hacer al resolver una inecuación no lineal polinómica es transformarla de tal manera que nos quede una expresión algebraica comparada con cero. Es decir, transformamos el problema en estudiar el signo de una nueva expresión algebraica.

En este ejemplo el signo de la expresión algebraica a estudiar es:

y = f(x) = \textcolor{blue}{x^2 -7x + 6}

Lo segundo a tener en cuenta es que los polinomios, entendido como funciones, son “funciones continuas”. Esto significa, de una manera “poco formal“, que su gráfica puede ser trazada sin levantar el lápiz.

Los valores que toma esta función pasarán de ser positivos a negativos, o viceversa, si su gráfica pasa por el eje OX, es decir, si \mathbf{y = f(x) = 0} . Por ello en este punto es necesario ver cuando f(x) = 0 .

Destaquemos aquí también, que cuando la inecuación es del tipo \geq 0 o \leq 0 que admiten la igualdad a cero, a diferencia de >0 o <0 que no la admiten, los valores de x donde y = f(x) = 0 deben ser tomados en la solución.

Resolvemos la ecuación

f(x) = x^2 -7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \\ 
\quad \\
x= \frac{7\pm\sqrt{49-24}}{2}= \\ 
=\frac{7\pm5}{2}= \left\{ \begin{array}{l} 
\frac{{12}}{2} = 6 \\ 
\\ \frac{{2}}{2} = 1
\\
\end{array}\right. 

En esta inecuación x = 1 y x = 6 deben estar en la solución.

Ver resoluciones de ecuaciones aquí.

Representamos con “bolitas llenas” a x = 1 y x = 6 . En este caso la recta queda dividida en tres intervalos.

f(0) = 0^2 - 7·0 + 6 = 6 > 0

Las soluciones x = 1 y x = 6 aparecen un número impar de veces.

Los intervalos adyacentes tienen signos distintos.

1. Aquí debemos representar en la recta real las soluciones que obtuvimos en el paso anterior.
2. Cuando tenemos desigualdades del tipo \geq 0 o \leq 0 representamos estas soluciones con “bolitas llenas”.
3. Cuando tenemos desigualdades del tipo > 0 o < 0 representamos estas soluciones con “bolitas vacías”.

Si representamos en Geogebra la gráfica de la función

f(x) = x^2 -7x + 6

podemos ver que en los intervalos de la solución esta toma valores positivos o cero y en el resto toma valores negativos.

Mueve el deslizador para ver distintos valores.

Para otras representaciones también puedes visitar WolpramAlpha:

\frac{x^3 + 2 x^2 - 4 x -5}{x^2 +2x} \geq \frac{x+1}{x} \Leftrightarrow \\ \quad \\ \Leftrightarrow \quad
\frac{x^3 + 2 x^2 - 4 x -5}{x^2 +2x} -\frac{x+1}{x} \geq  0 

Sacando mínimo común múltiplo y realizando la resta nos queda

\frac{(x^3 + 2 x^2 - 4 x -5)-(x+1)(x+2)}{x(x +2)} \geq 0 \\ \quad \\ \Leftrightarrow \quad
\frac{x^3 + 3 x^2 - x -3}{x^2 +2x} \geq  0 

Al igual que en las inecuaciones no lineales polinómicas lo primero que debemos hacer al resolver este tipo de inecuaciones es transformarlas de tal manera que nos quede una expresión algebraica comparada con cero. Es decir, transformamos el problema en estudiar el signo de una nueva expresión algebraica.

En este ejemplo la expresión algebraica a estudiar el signo es

f(x)=\frac{x^3 + 3 x^2 - x -3}{x^2 +2x} 

En este caso, el signo de la fracción depende tanto del signo del numerador como del denominador. Por tanto debemos estudiar cuando el numerador puede cambiar de signo y cuando el denominador puede cambiar de signo. En este caso, tanto el numerador como el denominador son polinomios y sabemos del apartado anterior que estos pueden cambiar de signo donde toman valores ceros.

Otro aspecto importante es que la división por cero no existe. Entonces, aquellos valores donde el denominador vale cero NUNCA los podemos tomar.

Resolvemos las ecuaciones:

x^3 + 3 x^2 - x -3=0 \\ \quad
Sol. \quad x=-3, x=-1, x=1.
\\ \quad
\\
x^2 +2x = 0
\\ \quad Sol. \quad x=0, x=-2

En esta inecuación las soluciones x = -3, x=-1 y x = 1 deben estar en la solución. Pero, x = 0 y x = -2 NO, por anular al denominador.

Representamos con “bolitas llenas” a x = -3, x=-1 y x = 1 . Representamos con “bolitas vacias” a x = 0 y x = -2 . En este caso la recta queda dividida en seis intervalos.

f(2) = \frac{2^3 + 3·2^2 - 2 -3}{2^2 +2·2} = \\ \quad 
\\  = \frac{15}{8} >0 \quad

Los intervalos adyacentes tienen signos distintos porque todas las soluciones aparecen una sola vez.

1. Representamos en la recta real todas las soluciones que obtuvimos en el paso anterior. Las del numerador y las del denominador.
2. Cuando tenemos desigualdades del tipo \geq 0 o \leq 0 representamos las soluciones del numerador con “bolitas llenas”.
3. Independientemente de la desigualdad representamos las soluciones del denominador con “bolitas vacias”.
4. Cuando tenemos desigualdades del tipo > 0 o < 0 representamos todas las soluciones con “bolitas vacías”.

Por último, el signo en cada intervalo se determina como en las polinómicas.