Una función es la imagen abstracta de la dependencia de una magnitud sobre otra.

A. D. Aleksandrov (1912–1999)

Definición

Cuando hablamos de función tenemos que hablar de dos conjuntos, que en realidad pueden ser el mismo, a uno de ellos le llamaremos conjunto de partida o inicial y al otro conjunto de llegada o final. En el caso de las funciones reales de variable real estos dos conjuntos son concretamente el conjunto de los números reales.

Intuitivamente podemos decir que una función “asocia” a cada elemento del conjunto de partida a lo sumo un elemento del conjunto de llegada. Aquí hay dos detalles que tenemos que discutir:

  1. Estamos introduciendo un nuevo término que no hemos definido y es el término “asociar“. Podíamos haber utilizado en su lugar el verbo “relacionar“: una función “relaciona” cada elemento del conjunto de partida con a lo sumo un elemento del conjunto de llegada. Pero al introducir los términos “asociar” o “relacionar” lo que estamos haciendo es recurrir a otros términos que “formalmente” no han sido definidos, pero que si son conocidos por el lector del “lenguaje natural“, permitiéndole así entender el significado de función.
  2. El segundo aspecto es mucho más importante, con la afirmación “a lo sumo” estamos diciendo que a cada elemento del conjunto de partida le estamos asociando exactamente uno (no más) o ningún elemento del conjunto de llegada. Es decir, hay elementos del conjunto de partida al que le asociamos un elemento y puede haber otros a los que no les asociamos ninguno.

En el caso de función real de variable real escribimos:

\begin{array}{l}
\textcolor{green}{f:}\textcolor{blue}{\mathbb{R}}\mathbb{\rightarrow \color{red}R} 
\end{array}

en azul aparece el conjunto de partida y en rojo el conjunto de llegada, en este caso ambos son el conjunto de los números reales. Esta función a un número real \textcolor{blue}x\in \mathbb{R}, y por ello diremos que es una función de variable real, le asociará otro número real \textcolor{red}y\in \mathbb{R}, diciendo entonces que la función es real. 

\begin{array}{l}
f:\textcolor{blue}{\mathbb{R}}\mathbb{\rightarrow \color{red}R}\\
\qquad \textcolor{blue}{x} \rightarrow  {\color{red}{y}}=f({\color{blue}x})
\end{array}

Cuando decimos función real, queremos decir que los valores que obtenemos, “los resultados”, “la imagen”, “la variable dependiente y”, de esta función son números reales. En cambio, el término de variable real hace referencia a que los valores en los que “evaluamos” la función, “la variable independiente x“, son números reales.

Figura 1:

En realidad esta “definición” solo nos permite acercarnos al concepto de función, pero desde el punto de vista formal esto no es una definición. Aquí solo hemos recurrido a otro término: “correspondencia”, que debería haber sido definido previamente.

El concepto de función es uno de los elementos más importantes y primordiales de las matemáticas modernas. Para ver una definición rigurosa hay que recurrir a la teoría de conjuntos. Si quieres puedes ver la definición Aquí.

Representación de una función real de variable real

Las funciones reales de variable real, al tener su conjunto de partida y de llegada como el conjunto de los números reales, pueden ser representadas gráficamente en un sistema de ejes cartesianos donde el eje horizontal (eje de las X) es tomado como conjunto de partida y el eje vertical (eje de las Y) es tomado como conjunto de llegada.

En la Figura 1, no podemos omitir las flechas que nos dicen que elementos del conjunto de partida se está relacionando con que elemento del conjunto de llegada. Pero en la Figura 2 estas flechas si pueden omitirse porque al representar los puntos queda claro esta correspondencia. El punto (3, 6) establece que nuestra función, f , transforma a 3 en 6 y escribimos f(3) = 6.

Dominio de una Función

El dominio de una función son aquellos elementos del conjunto de partida para los cuales tenemos un resultado en el conjunto de llegada, por ejemplo en el caso de la función de la imagen tenemos que

Dom(f) = \{3, 8, 9\}

es decir x = 7, no está en el dominio porque nuestra función no le asocia a 7 ningún resultado. Más formalmente, el dominio de la función real de variable real f, se denota por Dom(f) y se define como

f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \qquad \qquad Dom(f) = \left\{ \left.x\in\mathbb{R}\right|\exists y\in\mathbb{R}, \; y=f(x)\right\}

En una representación habitual de una función para ver gráficamente el dominio debemos mirar el eje OX.

Ejemplos prácticos

Por la definición de la raíz cuadrada (o índice par), del logaritmo o de que la división por cero no existe tenemos que los dominios de las siguientes funciones son los indicados en los respectivos casos:

\begin{array}{l}
f:\mathbb{R}\mathbb{\rightarrow R}\\
f(x)= \sqrt{x} 
\end{array} \quad Dom(f)=[0,\infty)
\begin{array}{l}
f:\mathbb{R}\mathbb{\rightarrow R}\\
f(x)= \log_{a}\left(x\right)
\end{array} \quad Dom(f)=(0,\infty)
\begin{array}{l}
f:\mathbb{R}\mathbb{\rightarrow R}\\
f(x)= \frac{1}{x}
\end{array} \quad Dom(f)=\mathbb{R} - \{0\}

Ahora, como las funciones con las que trabajaremos usualmente son composiciones de las funciones elementales anteriores, la busqueda del dominio de las funciones se reduce prácticamente a preguntarnos si

  1. ¿Hay divisiones?
  2. ¿Hay logaritmos?
  3. ¿Hay raíces cuadradas o índice par?

Hallar los dominios de las siguientes funciones: 

a) \quad f(x) = \sqrt{x - 1}
Solución

En este caso el argumento de la raíz cuadrada es una función afín y 

x - 1 \geq 0 \quad \Leftrightarrow  \quad x \geq 1

de donde 

Dom(f) = \left\{ \left.x\in\mathbb{R}\right| x \geq 1 \right\}  = [1, \infty)
b) \quad f(x) = \sqrt{x^2 -7x + 6}
Solución

En este caso el argumento de la raíz cuadrada es una función cuadrática y para resolver la inecuación

x^2 -7x + 6 \geq 0

resolvemos primero la ecuación siguiente y las soluciones las ubicamos en la recta real 

x^2 -7x + 6  = 0  \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l}
x=6\\
x=1
\end{array}\right.

y el dominio queda

Dom(f) = (-\infty, 1]\cup[6,\infty)
a) \quad f(x) = \sqrt{\frac{x^2 -7x + 6}{x-5}}
Solución

El argumento de la raíz cuadrada es una función racional y debemos resolver la inecuación

\frac{x^2 -7x + 6}{x-5}   \geq 0

para ello buscamos las raíces del numerador y denominador respectivamente

x^2 -7x + 6  = 0  \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l}
x=6\\
x=1
\end{array}\right. \\ \quad \\
x=-5   \quad \Rightarrow \quad  x=5