Ejercicios
| 2) Dado los puntos A(1, k, -2) , B(3, 1, 2) y C(5, k^2, 6) I) Determina el valor de k en cada uno de los siguientes casos: a) Los puntos A, B y C sean colineales. b) Los puntos A, B , C y D(k+1, 1, -k) sean coplanarios. II) Determina para k=2 el volumen del tetraedro de vértices A, B , C y D(1, 1, 1) |
Solución
I.a) Los puntos A(1, k, -2) , B(3, 1, 2) y C(5, k^2, 6) son colineales si y solo si los vectores \overrightarrow{AB} , y \overrightarrow{AC} son proporcionales (tienen la misma dirección, son paralelos).
\overrightarrow{AB}=(2, 1-k,4)\,||\, \overrightarrow{AC}=(4,k^2-k,8)
\quad \Leftrightarrow \\ \, \\
\Leftrightarrow \quad \frac{4}{2}=\frac{k^2-k}{k-1} = \frac{8}{4} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{k^2-k}{k-1} = 2 \frac{k^2-k}{k-1} = 2 \, \Rightarrow \, k^2-k=2(k-1) \, \Rightarrow \, k^2-3k+2=0 \, \Rightarrow \\ \, \\
\Rightarrow k=1 \quad o \quad k=-2
Observemos que el caso k=1 es admisible porque en este caso las segunda componente de los vectores valen lo mismo, cero. Sol: k=1 y k=-2 .