Ejercicios Resueltos.
Problema 1
| Se considera el experimento aleatorio que consiste en el lanzamiento de un dado cúbico (equilibrado) y observar la cara que queda hacia arriba. Se define la variable aleatoria que representa la ganancia o perdida de la siguiente apuesta. Si sale uno, se ganan 3 euros, si sale 2, 3 o 4 se pierden 5 euros y si sale 5 o 6 se ganan 8 euros. a) Define rigurosamente la variable aleatoria del enunciado y clasifícala. b) Determina la función de distribución y de probabilidad de esta variable aleatoria. c) Calcula la media, varianza y desviación típica de esta variable aleatoria. ¿Es una “Apuesta Justa”? d) Haciendo uso de la variable aleatoria escribe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades. I) Se gane como mínimo tres euros. II) No perdamos dinero. III) Perdamos dinero. |
Solución
a) El espacio muestral del experimento aleatorio es E=\{1,2,3,4,5,6\}. La variable aleatoria X:E\rightarrow\mathbb{R} nos da como resultado
X: ganancia (o perdida) de la apuesta.
concretamente X(1)=3, X(2)=-5, X(3)=-5, X(4)=-5, X(5)=8, X(6)=8
O también podemos escribir (Expande):
X(\omega)=\left\{ \begin{array}{ll}
-5 & \textrm{ si }\omega=2,3\textrm{ o }4\\
\textrm{3} & \textrm{ si }\omega=1 \\
8 & \textrm{ si }\omega=5\textrm{ o }6
\end{array}\right.Esta variable aleatoria es una variable aleatoria discreta.
Im(X)=\{x_1=-5, x_2=3, x_3=8\}b) Por definición la Función de Probabilidad de una variable aleatoria discreta es p(x)=P(X=x). Mientras que la Función de Distribución esta dada por p(x)=P(X\leq x). Para que nos quede más organizada la respuesta la daremos en forma de tabla:
p(x)=0, \forall x\neq -5,3,8
p(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
1/2 & \textrm{ si }x=-5\\
1/3 & \textrm{ si }x=3\\
2/3 & \textrm{ si }x=8\\
0 & \textrm{ si }x\neq-5,3,8
\end{array}\right.F(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
0 & \textrm{ si }x<-5\\
1/2 & \textrm{ si }-5\leq x<3\\
2/3 & \textrm{ si }3\leq x<8\\
1 & \textrm{ si }8\leq x
\end{array}\right.Cálculos para la función de probabilidad
p_1 = p(x_1) = p(-5)=P(X=-5)=P(\{2,3,4\})=3/6 = 1/2 \qquad \qquad \\
p_2 = p(x_2) = p(3)=P(X=3)=P(\{1\})=1/3 \qquad \qquad \qquad \\
p_3 = p(x_3) =p(8)=P(X=8)=P(\{5,6\})=2/6=1/3 \qquad \qquad \qquad \\
x\neq x_i, i=1,2,3 \qquad p(x)=P(X=x)=P(\emptyset)=0 \qquad \qquad
Cálculos para la función de distribución
\quad x < -5, F(x)= P(X\leq x)=P(\empty) = 0 \qquad \qquad \qquad \qquad \\
F_1 = F(x_1) = F(-5)=P(X\leq-5)=P(\{2,3,4\})=1/2 \qquad \qquad \qquad \\
\quad -5< x < 3, \quad F(x)= P(X\leq x)=P(\{2,3,4\}) = 1/2 \qquad \qquad \qquad \qquad \\
F_2 = F(x_2) = F(3)=P(X\leq3)=P(\{1,2,3,4\})=4/6 = 2/3 \qquad \qquad \\
\quad 3< x < 8, \quad F(x)= P(X\leq x)=P(\{1,2,3,4\}) = 2/3 \qquad \qquad \qquad \qquad \\
F_3 = F(x_3) =F(8)=P(X\leq8)=P(\{E\})=1 \qquad \qquad \qquad \\
\quad 8 < x, \quad F(x)= P(X\leq x)=P(E) = 1 \qquad \qquad \qquad \qquad \\ c) Para este