Ejercicio 7
| Calcula la integral \int\frac{(x+4)\sqrt{x+4}}{x}dx |
Solución:
Hacemos el cambio de variable adecuado para hacer desaparecer la raíz cuadrada
t^2 = x+4 \qquad (t=\sqrt{x+4}) \\ 2tdt=dx \qquad \qquad \qquad \qquad\Rightarrow I = \int\frac{(x+4)\sqrt{x+4}}{x}dx = \int\frac{t^2t}{t^2-4 }2tdt = \\ =2\int\frac{t^4}{t^2-4 }dt Debemos entonces calcular la integral de una función racional. Como la fracción es impropia, hacemos la división y
2\int\frac{t^4}{t^2-4 }dt = 2\int t^2 + 4 +\frac{16}{t^2-4 }dt escribiendo la fracción que queda en el integrando como sumas de fracciones simples
\frac{16}{t^2-4 }=\frac{A}{t-2 }+ \frac{B}{t+2 }=\frac{A(t+2)+B(t-2)}{t^2-4 } \Rightarrow \\ \quad \\
\Rightarrow 16 = A(t+2)+B(t-2) haciendo t=-2 y t=2 respectivamente, tenemos que
16=-4B \Rightarrow B = -4 \qquad \qquad 16=4A \Rightarrow A = 4
de donde
I=2\int t^2 + 4 +\frac{16}{t^2-4 }dt = 2\int t^2 + 4 +\frac{4}{t-2 } - \frac{4}{t+2 }dt =\\ \quad \\
=2\frac{t^3}{3 } + 8t +8\ln\left|t-2\right|-8\ln\left|t+2\right| +k = \\ \quad \\
=2\frac{\sqrt{(x+4)^3}}{3 } + 8\sqrt{x+4}+ 8\ln\left|\sqrt{x+4}-2\right|-8\ln\left|\sqrt{x+4}+2\right| + k=
\quad \\ \quad \\ =2\frac{\sqrt{(x+4)^3}}{3 } + 8\sqrt{x+4} + 8\ln\left|\frac{\sqrt{x+4}-2}{\sqrt{x+4}+2}\right| + k