Ejercicio 5
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,1,0) y corta a las rectas
r\equiv\left\{ \begin{array}{l}
-x+2z=5\\
x+y=-1
\end{array}\right.\qquad s\equiv\left\{ \begin{array}{l}
2x-3y+z=-1\\
5x+y+2z+2=0
\end{array}\right.Halla los puntos R y S donde las corta.
Solución
Determinemos primero las ecuaciones paramétricas de estas rectas
Ecuación paramétrica de r, tomando
\overrightarrow{d_{r}}=\overrightarrow{n_{1}}\times\overrightarrow{n_{2}}=\left|\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\
-1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 0
\end{array}\right|=(-2,2,-1) donde \overrightarrow{n_{1}}=(-1,0,2) y \overrightarrow{n_{2}}=(1,1,0) son los vectores normales de los planos en la ecuación implícita de r . Por otro lado, haciendo z=0 en la ecuación implícita de r , tenemos que x=-5 e y=4 . Luego P_{r}(-5,4,0)\in r y
r:\left\{ \begin{array}{l}
x=-5-2t\\
y=4+2t\\
z=-t
\end{array}\right.Ecuación paramétrica de s, tomando
\overrightarrow{d_{s}}=\overrightarrow{n_{1}}\times\overrightarrow{n_{2}}=\left|\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\
2 & -3 & 1\\
5 & 1 & 2
\end{array}\right|=(-7,1,17) donde \overrightarrow{n_{1}}=(2,-3,1) y \overrightarrow{n_{2}}=(5,1,2) son los vectores normales de los planos en la ecuación implícita de s. Por otro lado, haciendo z=-1 en la ecuación implícita de s, tenemos que x=0 e y=0. Luego P_{s}(0,0,-1)\in s y
s:\left\{ \begin{array}{l}
x=-7t\\
y=t\\
z=-1+17t
\end{array}\right.Expande para ver otra forma de obtener la ecuación paramétrica
Resolvemos el sistema de ecuaciones, por el método de reducción, considerando como incógnitas solo a z e y. Multiplicando por 3 la segunda ecuación y sumando ambas tenemos que
\left\{ \begin{array}{l}
-3y+z=-1-2x\\
3y+6z=-6-15x
\end{array}\right.\Rightarrow7z=-7-17x luego z=1-\frac{17}{7}x, y=\frac{-x}{7}:
s:\left\{ \begin{array}{l}
x=t\\
y=-\frac{t}{7}\\
z=1-\frac{17}{7}t
\end{array}\right.Encontrando la recta buscada:
Denotamos por q a la recta buscada.
1) Determinamos primero el plano \pi_{1}:
Comentario (Expande)
Por hipótesis, q debe estar en el plano determinado por el punto P y la recta r. Esto es así, porque como r y q se cortan, ellas determinan un plano \pi_{1} que las contiene a ambas.
\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{d_{r}}\times\overrightarrow{P_{r}P}=\left|\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\
-2 & 2 & -1\\
-2 & 1 & 0
\end{array}\right|=(1,2,2)siendo (x-1)+2(y-1)+2z=0 la ecuación normal de \pi_{1}, luego
\pi_{1}:x+2y+2z-3=02) Determinamos el plano \pi_{2}:
Como en el caso anterior, las rectas s y q determinan un plano, \pi_{2}. Que también está determinado por P y s.
\pi_{2}: plano determinado por P y s. Dos vectores generadores de \pi_{2} son \overrightarrow{d_{s}} y \overrightarrow{PP_{s}}=(1,1,1), por lo que un vector normal de este plano puede ser\frac{1}{8}·\overrightarrow{PP_{s}}\times\overrightarrow{d_{s}}=\left|\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\
1 & 1 & 1\\
-7 & 1 & 17
\end{array}\right|=(2,-3,1)siendo 2x-3y+(z+1)=0 la ecuación normal de \pi_{2}, luego
\pi_{2}:2x-3y+z+1=03) La ecuación implícita de q es:
q\equiv \left\{ \begin{array}{l}
x+2y+2z-3=0\\
2x-3y+z+1=0
\end{array}\right.Puntos de corte
Para encontrar los puntos de corte determinemos primero la ecuación paramétrica de q:
\overrightarrow{d_{q}}=\left|\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\
1 & 2 & 2\\
2 & -3 & 1
\end{array}\right|=(8,3,-7)\quad\textrm{y }\quad q:\left\{ \begin{array}{l}
x=1+8t\\
y=1+3t\\
z=-7t
\end{array}\right.1) q\cap r: Como r esta contenida en \pi_{1}, debemos buscar el punto R(-5-2t,4+2t,-t)\in\pi_{2}
2(-5-2t)-3(4+2t)-t+1=0\Rightarrow t=\frac{-21}{11}luego R\left(\frac{-13}{11},\frac{2}{11},\frac{21}{11}\right).
2) q\cap s: Como s esta contenida en \pi_{2}, debemos buscar el punto S(-7t,t,-1+17t)\in\pi_{1}
(-7t)+2(t)+2(-1+17t)-3=0\Rightarrow t=\frac{5}{29}luego S\left(\frac{-35}{29},\frac{5}{29},\frac{66}{29}\right).