Matematicas II: Examen de Geometría y Más.

Ejercicio 2

a) Determina la posición relativa de las rectas

r\equiv\left\{ \begin{array}{l} x=-1+t\\ y=3+t\\ z=1+2t \end{array}\right.\qquad s\equiv\frac{x}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}

b) Halla la distancia entre $r$ y $s$ .

Solución al apartado a)

La posición relativa de las dos rectas la discutimos en este caso a partir de los vectores directores $\overrightarrow{d_{r}}=(1,1,2)$ , $\overrightarrow{d_{s}}=(1,2,1)$ y el vector $\overrightarrow{P_{r}P_{s}}=(1,-5,0)$ donde $P_{r}(-1,3,1)$ y $P_{s}(0,-2,1)$ son los respectivos puntos de estas rectas que podemos obtener directamente de sus ecuaciones. Como

\left|\begin{array}{ccc} 1 & -5 & 0\\ 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right|=1-10+5-4=-8\neq0

rg\left(\overrightarrow{P_{r}P_{s}},\overrightarrow{d_{r}},\overrightarrow{d_{s}}\right)=3

y las dos rectas se cruzan.

Solución al apartado b)

Para el calculo de las distancias entre las rectas tenemos que

d\left(r,s\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{P_{r}P_{s}},\overrightarrow{d_{r}},\overrightarrow{d_{s}}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{d_{r}}\times\overrightarrow{d_{s}}\right|}=\frac{\left|-8\right|}{\sqrt{9+1+1}}=\frac{8\sqrt{11}}{11}u

donde $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$ denota el producto mixto de estos tres vectores y

\overrightarrow{d_{r}}\times\overrightarrow{d_{s}}=\left|\begin{array}{ccc} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right|=(-3,1,1)

Ejercicio 3

Halla la ecuación paramétrica de la recta $r$ que pasa por $P(2,1,-1)$ , está contenida en el plano

\qquad \qquad \pi:x+2y+3z-1=0

y es perpendicular a la recta

s:\left\{ \begin{array}{l} x=2z-3\\ y=z+4 \end{array}\right.

Solución

El vector director de la recta $r$ , $\overrightarrow{d_{r}}$ , es perpendicular al vector normal del plano $\pi$ , por estar contenida en este plano. Por definición un vector normal a un plano es perpendicular a todos los vectores y rectas contenidos en ese plano.

Por otro lado, el vector $\overrightarrow{d_{r}}$ es perpendicular al vector director de la recta $s$ , $\overrightarrow{d_{s}}$ , ya que por hipótesis estás rectas son perpendiculares. Ojo: que sean perpendiculares no significa que estas rectas se corten. Para escribir la ecuación paramétrica de $s$ , solo necesitamos hacer $z=t$ , entonces

s:\left\{ \begin{array}{l} x=2t-3\\ y=t+4\\ z=t \end{array}\right.

y tenemos que debe ocurrir que

\overrightarrow{d_{r}}\perp\overrightarrow{d_{s}}=(2,1,1)\quad\textrm{ y }\quad\overrightarrow{d_{r}}\perp\overrightarrow{n_{\pi}}=(1,2,3)

por lo que podemos tomar y concluir

\overrightarrow{d_{r}}=\overrightarrow{d_{s}}\times\overrightarrow{n_{\pi}}=\left|\begin{array}{ccc} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right|=(1,-5,3)\Longrightarrow r:\left\{ \begin{array}{l} x=2+t\\ y=1-5t\\ z=-1+3t \end{array}\right.

Ejercicio 4

Hallar la distancia del punto

P(1,1,2)

a la recta

r:\frac{x}{2}=y+1=\frac{z}{-2}

Solución

Para la solución de este ejercicio nos basamos directamente en un resultado conocido:

d(P,r)=\frac{\left|\overrightarrow{d_{r}}\times\overrightarrow{P_{r}P}\right|}{\left|\overrightarrow{d_{r}}\right|}=\frac{\sqrt{36+36+9}}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{9}{3}=3u

donde

\overrightarrow{d_{r}}=(2,1,-2),\quad P_{r}(0,-1,0)\quad\textrm{ y }\quad\overrightarrow{PP_{r}}=(-1,-2,-2)

\overrightarrow{d_{r}}\times\overrightarrow{P_{r}P}=\left|\begin{array}{ccc} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ 2 & 1 & -2\\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right|=(6,-6,3)