Extraordinaria 2023.

Problema 1 de Álgebra

a) Obtener todas las soluciones del sistema

\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1\\ x+2y-z=3 \end{array}\right.

b) Determinar todos los $a,b\in\mathbb{R}$ para que $x=5,y=-2,z=-2$ sea solución del sistema

\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1\\ x+2y-z=3\\ ax+2ay+bz=b \end{array}\right.

¿Para cuáles de esos valores la solución del sistema es única?

Solución:

a) La matriz ampliada del sistema es

(A|b)=\left(\begin{array}{ccc|c} {\color{red}1} & {\color{red}1} & 1 & 1\\ {\color{red}1} & {\color{red}2} & -1 & 3 \end{array}\right)

\left|\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{array}\right|=1\neq0\Rightarrow rg(A)=rg(A|b)=2<\textrm{nº de incógnitas},

luego por el Teorema de Rouche-Frobenius el sistema es compatible indeterminado.

Teniendo en cuenta que el menor de orden 2 y distinto de cero anterior no involucra a la variable $z$ , hacemos $z=t\in\mathbb{R}$

\left\{ \begin{array}{l} x+y=1-t\\ x+2y=3+t \end{array}\right.

y resolviendo el sistema por Cramer

x=\frac{\left|\begin{array}{cc} (1-t) & 1\\ (3+t) & 2 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{array}\right|}=\frac{2(1-t)-(3+t)}{1}=-3t-1

y=\frac{\left|\begin{array}{cc} 1 & (1-t)\\ 1 & (3+t) \end{array}\right|}{1}=\frac{(3+t)-(1-t)}{1}=2t+2 \\ \, \\ z=t

Expande para ver una 2da Vía

2da Vía

(A|b)=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & -1 & 3 \end{array}\right)\underrightarrow{^{F'_{2}=F_{2}-F_{1}}}\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -2 & 2 \end{array}\right)\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1\\ \quad\;y-2z=3 \end{array}\right.

Haciendo $z=t\in\mathbb{R}$ entonces $y=2+2t$ y $x+(2+2t)+t=1\Rightarrow x=-3t-1$ .

b) Es fácil comprobar que los valores dados, $x=5,y=-2,z=-2$ , satisfacen las dos primeras ecuaciones de este sistema, en efecto:

(1) \qquad 5+(-2)+(-2) = 1 \quad \\ \qquad \\ (2) \qquad 5+2·(-2)- (-2) = 3

Pero también deben satisfacer la tercera, lo cual ocurre si y solo si

5a - 4a - 2b = b \quad \Leftrightarrow \quad \boxed{{\color{blue}a=3b}}

Para responder a la pregunta de cuando esta solución es única, observemos que la matriz ampliada del sistema, bajo la condición encontrada, está dada por

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & -1 & 3\\ 3b & 6b & b & b \end{array}\right)

Pero por el Teorema de Rouche-Frobenius el sistema de ecuaciones es compatible determinado, es decir tiene solución única, si y solo si

rg(A)=rg(A|b)=\textrm{n\text{º }de incógnitas}=3

pero $rg(A)=3\Leftrightarrow\left|A\right|\neq0$ y

\left|A\right|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & -1\\ 3b & 6b & b \end{array}\right|=b\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & -1\\ 3 & 6 & 1 \end{array}\right|=4b\neq0\Leftrightarrow b\neq0

Los valores $x=5,y=-2,z=-2$ es solución del sistema de ecuaciones si y solo si $b=3a$ y es la única solución si y solo si $b\neq0$ .

Problema 2 de Álgebra

a) Dadas las matrices

A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & a\\ 1 & 1 \end{array}\right) \quad \textrm{ y } \quad B=\left(\begin{array}{cc} 3 & -1\\ a & 0\\ 3 & -1 \end{array}\right)

con $a,b\in\mathbb{R}-\{0\}$ .

a) Calcular la matriz $C$ , siendo $c_{11}=2$ , tal que $AC=B$ .
b) Si $D=B^tA$ , siendo $B^t$ , la traspuesta de $B$ , determinar los valores de $a$ para los que $D$ tiene matriz inversa.

Solución:

a) Para que el producto $AC$ sea posible el número de columnas de $A\in M_{3\times2}$ , debe coincidir con el número de filas de $C$ , entonces $C\in M_{2\times p}$ . Por otro lado, $AC\in M_{3\times p}$ y $B\in M_{3\times 2}$ entonces $p=2$ y $C\in M_{2\times 2}$ .

Comentario: Si $A$ fuese cuadrada podriamos multiplicar por su inversa (y por la izquierda) a ambos lado de la igualdad $AC=B$ y obtener el valor de $C$ . Pero esto aquí no es posible.

C=\left(\begin{array}{cc} 2 & x\\ y & z \end{array}\right) \Rightarrow AC = \left(\begin{array}{cc} 2+y & x+z\\ ay & az\\ 2+y & x+z \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc} 3 & -1\\ a & 0\\ 3 & -1 \end{array}\right) \Rightarrow \\ \, \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2+y=3\\ x+z=-1\\ ay=a\\ az=0\\ \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=1\\ x+z=-1\\ z=0 \quad (a\neq0)\\ \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=1\\ x=-1\\ z=0 \\ \end{array}\right.

Entonces

C=\left(\begin{array}{cc} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{array}\right)

b) Calculamos la matriz $D=B^tA$

D= \left(\begin{array}{cc} 3 & a & 3\\ -1 & 0 & -1 \end{array}\right) · \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & a\\ 1 & 1 \end{array}\right) = \\ \, \\ = \left(\begin{array}{cc} 6 & a^2 +6\\ -2 & -2 \end{array}\right)

Pero $D$ tiene inversa si y solo si $|D|\neq0$

|D|=-12+2(a^2+6)=2a^2 =0 \Leftrightarrow a=0

Entonces $D$ tiene inversa si y solo si $a \neq 0$