Ordinaria 2023.

Problema 1 de Álgebra

Calcular $\lambda$ y $\mu$ para que el sistema de ecuaciones lineales

\left\{ \begin{array}{l} x+2y+z=\mu\\ \lambda x+y=1\\ y+\lambda z=-1 \end{array}\right.

tenga infinitas soluciones.

Solución:

Por definición, un sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones si es compatible indeterminado y por el Teorema de Rouche-Frobenius esto ocurre si y solo si: $rg(A)=rg(A|b)<\textrm{nº de incógnitas}=3,$ donde $A$ y $(A│b)$ son la matriz y la matriz ampliada del sistema respectivamente. En este caso:

\quad \\ \left(A|b\right)=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & \mu\\ \lambda & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & \lambda & -1 \end{array}\right)

Como la matriz del sistema es cuadrada, de orden 3, se tiene que $rg(A)<3 \Leftrightarrow \left|A\right|=0$ y

\left|A\right|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ \lambda & 1 & 0\\ 0 & 1 & \lambda \end{array}\right|=(\lambda+\lambda)-2\lambda^{2}=2\lambda(1-\lambda)

rg(A)<3\Leftrightarrow\left|A\right|=2\lambda(1-\lambda)=0\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \lambda=0\\ \textrm{o}\\ \lambda=1 \end{array}\right.

Nuestro estudio ahora se limita solo a los dos casos anteriores, $\lambda=0$ y $\lambda=1$ , nos falta ver para ellos cuando se cumple que $rg(A)=rg(A|b)$ .

1ra vía: Para $\lambda=0$ :

\left(A|b\right)=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & \mu\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right)\underrightarrow{^{F'_{3}=F_{3}-F_{2}}}\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & \mu\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{array}\right)\Rightarrow rg\left(A|b\right)=3>rg(A)=2

y por el Teorema de Rouche Frobenius, en este caso el sistema es incompatible.

Para $\lambda=1$ :

\left(A|b\right)=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & \mu\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)\underrightarrow{^{F'_{2}=F_{2}-F_{1}}}\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & \mu\\ 0 & -1 & -1 & 1-\mu\\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)\underrightarrow{^{F'_{3}=F_{3}+F_{2}}}\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & \mu\\ 0 & -1 & -1 & 1-\mu\\ 0 & 0 & 0 & -\mu \end{array}\right)

en este caso $rg(A)=2$ y $rg(A|b)=2\Leftrightarrow\mu=0$ (Nota: cuando $\mu\neq0$ , $rg(A|b)=3$ ).

Solución: El sistema tiene infinitas soluciones si y solo si $\lambda=1$ y $\mu=0$ .

Expande para ver otra vía…

2da vía:

\left(A|b\right)=\left(\begin{array}{ccc|c} {\color{orange}1} & {\color{orange}2} & 1 & \mu\\ \lambda & 1 & 0 & 1\\ {\color{orange}0} & {\color{orange}1} & \lambda & -1 \end{array}\right),\left|\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right|=1\neq0

Entonces, para $\lambda=0$ y $\lambda=1$ , $rg(A)=2$ . Para el estudio del rango de $(A|b)$ si orlamos el anterior menor de orden 2 con la tercer columna, obtenemos $\left|A\right|=0$ (esto ya lo sabemos), y si lo orlamos con la cuarta columna:

Para $\lambda=0$ :

\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & \mu\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{array}\right|=-2\neq0\Rightarrow2=rg(A)<rg(A|b)

y por el Teorema de Rouche Frobenius el sistema es incompatible en este caso.

Solución: El sistema tiene infinitas soluciones si y solo si $\lambda=1$ y $\mu=0$ .

Para $\lambda=1$ :

\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & \mu\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right|\overset{F'_{2}=F_{2}-F_{1}}{=}\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & \mu\\ 0 & -1 & 1-\mu\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} -1 & 1-\mu\\ 1 & -1 \end{array}\right|=1-(1-\mu)=\mu

Luego $rg(A)=2=rg(A|b)$ si y solo si $\mu=0$ .

Expande para ver el problema modificado:

Problema 2 de Álgebra

Dadas las matrices

A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right), \qquad B=\left(\begin{array}{cc} x & 0\\ y & 1\\ z & x+y \end{array}\right) \quad y \quad C=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -1 & 2 \end{array}\right)

calcular los valores de $x, y, z \in$ para que $AB$ sea igual a la inversa, $C^{-1}$ , de la matriz $C$ .

Solución:

a) Observemos que el producto de de las matrices $A$ y $B$ es posible porque el número de filas de $A$ coincide con el número de columnas de $B$ :

\small A·B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right) · \left(\begin{array}{cc} x & 0\\ y & 1\\ z & x+y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} x+z & x+y\\ -x+y & 1 \end{array}\right)

Una forma de proceder ahora es calcular la inversa de $C$ , e igualarla al resultado anterior

\small |C|=1·2-(-1)·(-1)=1\neq0

corroborando que $C$ tiene inversa. Entonces:

\small C^{-1} = \frac{1}{|C|}Adj^t(C) = \left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)

Comentario:

Recordar que para las matrices cuadradas de orden 2 $\small Adj^t(C)$ se obtiene cambiando de posición los dos elementos de la diagonal principal y de signos lo de la otra diagonal.

Expande para ver otra forma de calcular

C^{-1}

\small \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & -1 & 1 & 0\\ -1 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right)\stackrel{F'_{2}=F_{2}+F_{1}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\stackrel{F'_{1}=F_{1}+F_{2}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & {\color{brown}2} & {\color{brown}1}\\ 0 & 1 & {\color{brown}1} & {\color{brown}1} \end{array}\right)

Haciendo ahora $AB=C^{-1}$

\left(\begin{array}{cc} x+z & x+y\\ -x+y & 1 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} x+z=2\\ x+y=1\\ -x+y=1 \end{array}\right.

este sistema lo podemos resolver por Gauss, o más rápido:

\boxed{\begin{array}{c} x=0\\ y=1\\ z=2 \end{array}}