Extraordinaria 2022.
Problema 1 de Geometría.
| a) Calcule el plano que pasa por el punto (1,0,1) y es paralelo a los vectores \overrightarrow{u}=(1,1,1) y \overrightarrow{v}=(1,2,3). (1,5 puntos) b) Calcule el plano paralelo a 3x+2y+2z+1=0 que pasa por el punto (1,2,3). (0,5 puntos) |
Solución:
a) Nos dan como información los vectores generadores del plano, \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, y un punto del plano, P(1,0,1) . Entonces, su ecuación vectorial y paramétrica son inmediatas:
Ecuación Vectorial
(x,y,z)=(1,0,1)+\alpha(1,1,1)+\beta(1,2,3),\:\alpha,\beta\in\mathbb{R}Ecuación Paramétrica
\qquad \left\{ \begin{array}{l}
x=1+\alpha+\beta\\
y=\alpha+2\beta\\
z=1+\alpha+3\beta
\end{array}\right. \qquad \alpha,\beta \in \mathbb{R}Encontremos también la ecuación general del plano. Para ello necesitamos un vector normal, \overrightarrow{n}, al plano dado.
\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\
1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 3
\end{array}\right|=(1,2,1)Ecuación normal:
(x-1)+2y+(z-1)=0
Ecuación General:
x+2y+z-2=0
b) Del haz de planos paralelos al dado
3x+2y+2z+D=0
nos piden aquel que pasa por el punto (1,2,3). Entonces
3·1+2·2+2·3+D=0 \Rightarrow D=-13
Entonces la ecuación general del plano pedido es: 3x+2y+2z-13=0
Problema 2 de Geometría.
| a) Encuéntrense las ecuaciones de la recta que está contenida en el plano \alpha\equiv x-y=0, es paralela al plano \beta\equiv2x-3y+z=4 y pasa por el punto P=(1,1,3). (1 punto) b) Hállese la ecuación del plano que es paralelo a r\equiv x-1=y+2=\frac{z-1}{2} y pasa por los puntos A=(0,3,1) y B=(-2,1,-1). (1 punto) |
Solución
a) Como la recta buscada esta en el plano \alpha y es paralela al plano \beta su vector director es perpendicular a los vectores normales de estos planos:
\overrightarrow{n_{\alpha}}=(1,-1,0)\qquad\overrightarrow{n_{\beta}}=(2,-3,1)Entonces podemos tomar como vector director de la recta al vector:
\overrightarrow{d}=\overrightarrow{n_{\beta}}\times\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left|\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\
2 & -3 & 1\\
1 & -1 & 0
\end{array}\right|=(1,1,\text{1})por último como esta recta pasa por el punto P(1,1,3) su ecuación continua es:
\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{1}
b) Como los vectores \overrightarrow{AB}=(-2,-2,-2) y \overrightarrow{d_r}=(1,1,2) no son proporcionales:
\frac{-2}{1}=\frac{-2}{1}\neq\frac{-2}{2}y son paralelos al plano buscado \pi, entonces son generadores de \pi. Podemos tomar entonces como vector normal de \pi al vector:
\overrightarrow{n_{\pi}}=\overrightarrow{d_{r}}\times\left(\frac{-1}{2}\overrightarrow{AB}\right)=\left|\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\
1 & 1 & 2\\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|=(0,1,0)
por último como el plano buscado pasa por el punto, por ejemplo, A(0,3,1) su ecuación general es:
y-3=0