Ordinaria 2021.
Problema 1 de Geometría.
| a) Hallar la recta perpendicular al plano \pi\equiv x+y+z=1 que pasa por el punto A(0,0,0). (0,8 puntos) b) Calcular la ecuación del plano respecto del cual los puntos P(1,1,1) y Q(1,3,1) son simétricos. (1,2 puntos) |
Solución
a) Como la recta buscada, r, es perpendicular al plano \pi, su vector director será paralelo al vector normal de \pi:
\overrightarrow{d_{r}}=\overrightarrow{n_{\pi}}=(1,1,1)Entonces su ecuación continua, teniendo en cuenta que pasa por el punto A(0,0,0), viene dada por
\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}
b) Por ser P y Q simétricos repecto al plano buscado, \pi, debe ocurrir que el punto medio, M, del segmento \overline{PQ} son las proyecciones ortogonales de estos puntos sobre dicho plano. Por lo cual, el punto M(\frac{1+1}{2},\frac{1+3}{2},\frac{1+1}{2})=M(1,2,1) es un punto de \pi y el vector \overrightarrow{PQ}=(0,2,0) es un vector normal de \pi. La ecuación normal y general del plano son respectivamente
0·(x-1)+2(y-2)+0·(z-1)=0 \;\textrm{Ecuación Normal} \\ y-2=0 \qquad \qquad \quad \qquad \qquad\qquad\;\textrm{Ecuación General} 
Problema 2 de Geometría.
| Dados la recta \frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-2} y el punto P(0,0,0), hallar la ecuación del plano \pi que contiene a r y pasa por el punto P. |
Solución
La recta r tiene vector director \overrightarrow{d_{r}}=(-1,1,-2) y uno de sus puntos es A(-1,-2,0).
Por otro lado, el vector \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AP}=(1,2,0) esta contenido en el plano \pi, porque los puntos que lo definen están en él. Luego, los vectores \overrightarrow{d_{r}} y \overrightarrow{u} son vectores generadores del plano \pi, observemos que son linealmente independientes: \frac{1}{-1}\neq\frac{2}{1}. De esta forma, podemos entonces tomar como vector normal del plano al vector
\overrightarrow{n_\pi}=\overrightarrow{d_{r}}\times\overrightarrow{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\
-1 & 1 & -2\\
1 & 2 & 0
\end{array}\right|=(4,-2,-3)
y algunas de las ecuaciones del plano \pi vienen dadas por
Ecuación Paramétrica
\small \pi\equiv\left\{ \begin{array}{l}
x=-\alpha+\beta\\
y=\alpha+2\beta\\
z=-2\alpha
\end{array}\right. \quad \alpha,\beta \in \mathbb{R}Ecuación Vectorial
\small \pi\equiv(x,y,z)=\alpha (-1,1,-1)+\beta(1,2,0) \\ \alpha,\beta \in \mathbb{R}Ecuación General
\small \pi\equiv-4x-2y-3z=0