Ordinaria 2024.
Problema 1 de Probabilidad
| Entre los vehículos que revisa un taller mecánico: · El 48% de ellos son coches, de los cuales las tres cuartas partes requieren reparación. · El 28% son motocicletas y entre ellas la mitad requieren reparación. . El 24% son furgonetas, de las cuales un tercio requieren reparación. Se consideran los sucesos: 𝐶= “coche”, 𝑀= “motocicleta”, 𝐹= “furgoneta” y 𝑅 = “requiere reparación”. a) Indicar qué probabilidades de sucesos, condicionados o no, se consideran en el enunciado y cuáles son sus valores. (0,2 puntos) b) Calcular 𝑃(𝑅 ∩ 𝐹), 𝑃(𝑅) y 𝑃(𝐶/𝑅). (1,3 puntos) c) ¿Son independientes los sucesos 𝐶 y R? (0,5 puntos) |
Solución
Observación: Debería hacerse explicito en el enunciado el experimento aleatorio del que pensamos se está hablando: “Seleccionar un vehículo al azar de ese taller mecánico”.
a) Los sucesos que se consideran en el enunciado y sus probabilidades son:
P(C)=0,48, P(M)=0,28 y P(F)=0,24. R|C: “Necesite reparación si sabemos que ha sido seleccionado un coche”. P(R|C)=\frac{3}{4}. R|M: “Necesite reparación si sabemos que ha sido seleccionada una moto”. P(R|M)=\frac{1}{2}. R|F: “Necesite reparación si sabemos que ha sido seleccionada una furgoneta”. P(R|F)=\frac{1}{3}.b) Para el cálculo de la probabilidad del producto hacemos uso de la definición de probabilidad condicionada:
P(R\cap F)=P(R|F)·P(F)=\frac{1}{3}·0,24=0,08
Haciendo uso del Teorema de las probabilidades totales:
\footnotesize P(R)=P(R|C)·P(C)+P(R|M)·P(M)+P(R|F)·P(F) =
\\ \, \\
= \frac{3}{4}·0,48 + \frac{1}{2}·0,28 + \frac{1}{3}·0,24 = 0,36 + 0,14 + 0,08 = 0,58 Por el Teorema de Bayes
\small P(C|R)=\frac{P(R|C)·P(C)}{P(R)} = \frac{\frac{3}{4}·0,48}{0,58}=\frac{0,36}{0,58}=\frac{18}{29}c) No son independientes, porque
\footnotesize 0,58 =\boldsymbol{P(R\cap F) \neq P(R)·P(F)} = 0,58·0,24 = \frac{87}{625} o porque
\small \frac{1}{3}=\boldsymbol{P(R|C)\neq P(R)} = 0,58Problema 2 de Probabilidad
| Se sabe que la cantidad de tiempo que los habitantes de Astorga usan el móvil cada día sigue aproximadamente una distribución normal de media 160 minutos y desviación típica 30 minutos. Calcular: a) La probabilidad de que un habitante determinado de Astorga use el móvil cada día menos de dos horas. (1 punto) b) El porcentaje de habitantes de Astorga que usan el móvil cada día más de tres horas y 50 minutos. (1 punto) |
Solución
Denotemos por:
X: tiempo que un habitante de Astorga utiliza el móvil en un día.Entonces por hipótesis, X\sim N(160,30).
a) 2 horas equivalen a 120min entonces nos piden la probabilidad del suceso X<120, pero como los valores de los que disponemos (en la tabla) son los de una distribución Z\sim N(0,1), tendremos que tipificar:
Z=\frac{X-160}{30} \sim N(0,1)entonces
\small P(X<120)=P\left(Z<\frac{120-160}{30}\right)=P\left(Z<\frac{-4}{3}\right) =
\\ \, \\
=P\left(Z<-1,33\widehat{3}\right) = 1- P\left(Z<1,33\widehat{3}\right) =\\ \, \\ \overset{(tabla)}{=} 1- 0.9082 = 0,0918b) En primer lugar observemos que tres horas y 50 minutos equivalen a 230 min. Calculemos entonces la probabilidad del suceso A\equiv (X<230), entonces
\small P(X<230)=P\left(Z<\frac{230-160}{30}\right)=P\left(Z<\frac{7}{3}\right) =
\\ \, \\
=P\left(Z<2,33\widehat{3}\right) \overset{(tabla)}{=} 0.9901 Por otro lado, interpretando la probabilidad según la regla de Laplace,
\small \frac{n\text{º}\textrm{ casos favorables a }A}{n\text{º}\textrm{ habitantes en Astorga}}·100 = P(A)·100 = 99,01deducimos que el 99,01% de los habitantes de Astorga usan el móvil cada día más de tres horas y 50 minutos.