Extraordinaria 2023.

Problema 1 de Probabilidad

Sean

A, B

C

sucesos de un experimento aleatorio con probabilidades

P(A)=0,3

P(B)=0,4

P(C)=0,5

tales que

A

B

son independientes y

A

C

son incompatibles. Calcular las probabilidades

P(A \cap B)

P(A \cap C)

P(A \cap \overline{C})

P(A \cup B)

P(\overline{A} \cup \overline{B})

siendo

\overline{A}, \overline{B}

\overline{C}

los sucesos complementarios de

A, B

C

respectivamente.

Solución

Iremos calculando sin más las probabilidades pedidas:

{\color{brown}\boldsymbol{P(A\cap B)}} = P(A)·P(B)=0,3·0,4=0,12

debido a la independencia de estos sucesos. Por otro lado, debido a la incompatibilidad de $A$ y $C$ , tenemos por definición que $A \cap C = \emptyset$ , luego

{\color{brown}\boldsymbol{P(A\cap C})} = P(\emptyset)=0

{\color{brown}\boldsymbol{P(A\cap\overline{C})}} = P(A) - P(A\cap C)=P(A)= 0,3.

{\color{brown}\boldsymbol{P(A\cup B)}} = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \\ = 0,3 + 0,4 - 0,12 = 0,58

{\color{brown}\boldsymbol{P(\overline{A}\cup \overline{B})}} = 1-P(A\cap B) = \\ = 1- 0,12 = 0,88

Observemos que por las Leyes de Morgan $\overline{\overline{A}\cup \overline{B}} = A \cap B$

Problema 2 de Probabilidad

De las camionetas que recogen los envases reciclados de una localidad el 45% son de la marca C1, el 30% de la marca C2 y el 25% de la marca C3. La probabilidad de que una camioneta se averíe es: 0,02 si es de la marca C1, 0,05 si es de la marca C2 y 0,04 si es de la marca C3.
a) Indicar las 6 probabilidades que aparecen en el enunciado
b) Si se selecciona una de esas camionetas al azar ¿qué probabilidad tiene de averiarse?
c) Suponiendo que una de esas camionetas se ha averiado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido una camioneta de la marca C3?

Aquí también son validos los comentarios realizados en el primer problema de la Ordinaria de 2023. Debe definirse el experimento aleatorio, “seleccionar una de esas camionetas al azar“, en el enunciado del problema y antes de enunciar los apartados de preguntas. Quedando el apartado

a) Indicar las 6 probabilidades que se pueden inferir o son dadas en el enunciado

Solución

a) Los sucesos, que podemos definir, y tales que sus probabilidades pueden ser inferidas del enunciado son

$C_1$ : Camionetas de la marca C1. ${\color{brown}\boldsymbol{P(C_{1})}}=0,45$
$C_2$ : Camionetas de la marca C2. ${\color{brown}\boldsymbol{P(C_{2})}}=0,3$
$C_3$ : Camionetas de la marca C3. ${\color{brown}\boldsymbol{P(C_{3})}}=0,25$

El otro suceso, que debemos definir, es

A

: Avería en la camioneta

Comentario: Esto nos lleva a que se debería haber definido ya, el experimento aleatorio: “seleccionar una de esas camionetas al azar“. Esto debería hacerse, incluso antes de dar las probabilidades que aparecen explícitamente en el enunciado. Y para evitar caer en la “controversia” de la interpretación frecuentista Vs subjetiva hubiera añadido en el enunciado la frase “en un determinado día“, quedando todo el enunciado:

“Elegida al azar una camioneta, la probabilidad de que esta se averíe en un determinado día es:…“

Discutido esto, las probabilidades dadas, son:

{\color{brown}\boldsymbol{P(A|C_{1})}}=0,02 \qquad {\color{brown}\boldsymbol{P(A|C_{2})}}=0,05 \qquad {\color{brown}\boldsymbol{P(A|C_{3})}}=0,04

b) La probabilidad pedida en este apartado, $P(A)$ , la calcularemos a partir del Teorema de las Probabilidades Totales.

{\color{brown}\boldsymbol{P(A)}} = P(A|C_1)P(C_1)+P(A|C_2)P(C_2)+P(A|C_3)P(C_3) =\\ = 0,02·0,45+0,05·0,3+0,04·0,25= 0,034

c) En este caso, la probabilidad pedida, la calculamos a partir del Teorema de Bayes:

{\color{brown}\boldsymbol{P(C_3|A)}} = \frac{P(A|C_3)P(C_3)}{P(A)} = \frac{0,04·0,25}{0,034}=0,2941