Ordinaria 2023.

Problema 1 de Probabilidad

Un 50% de los participantes en un torneo abierto de ajedrez celebrado en Salamanca son españoles, un 30% son europeos no españoles y los demás proceden del resto del mundo. De ellos, dos tercios de los españoles, la mitad de los europeos no españoles y un tercio de los no europeos no pasan de los 40 años.
a) Indicar las 6 probabilidades que aparecen en el enunciado (0,6 puntos)
b) Si se selecciona un participante al azar ¿Calcular la probabilidad de que no tenga más de 40 años? (0,7 puntos)
c) Si se elige al azar un participante del torneo y no tiene más de 40 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea español? (0,7 puntos)

El problema, sin lugar a dudas, tiene muchas formas mejores de ser enunciado. Por ejemplo:

Cambiando el orden sobre la información de la edad: De ellos, no pasan de los 40 años, dos tercios de los españoles, la mitad de los europeos no españoles y un tercio de los no europeos.
Siendo repetitivos, lo que aumenta el tamaño del enunciado, pero se gana en claridad: De ellos, dos tercios de los españoles no pasan de los 40 años, la mitad de los europeos no españoles tampoco lo hacen y un tercio de los no europeos están en la misma situación.

Tampoco las preguntas están exentas de errores. Antes de enunciar el apartado a), debería haber sido definido el experimento aleatorio, que fue definido en el apartado b). “Si se selecciona un participante al azar ”

Indicar las 6 probabilidades que pueden inferirse de la información que aparecen en el enunciado

Solución

a) Definiremos los sucesos de los cuales podremos inferir sus probabilidades a partir del enunciado.

$S$ : participantes españoles. $P(S)=0,5 = \frac{1}{2}$
$U$ : participantes europeos no españoles. $P(U)=0,3 = \frac{3}{10}$
$R$ : participantes del resto del mundo. $P(R)=0,2 = \frac{1}{5}$

La probabilidad del suceso $R$ es deducida del hecho de que estos tres sucesos son incompatibles dos a dos ( $S\cap U=\emptyset, S\cap R = \emptyset$ y $U\cap R = \emptyset$ ) y cuya union es todo el espacio muestral, luego:

1=P(E) = P(S)+P(U)+P(R) \quad \Rightarrow \quad \\ \Rightarrow \quad P(R) = 1 - 0,5 - 0,3 = 0,2

Los otros sucesos, de los que tenemos las probabilidades, son sucesos condicionados

$M$ : participantes que no pasan los 40 años.
$M|S$ : participantes que no pasan los 40 años dado que son españoles. $P(M|S)=\frac{2}{3}$ .
$M|U$ : participantes que no pasan los 40 años dado que son europeos no españoles. $P(M|U)=\frac{1}{2}$ .
$M|R$ : participantes que no pasan los 40 años dado que son del resto del mundo. $P(M|R)=\frac{1}{3}$ .

b) En este apartado nos piden la probabilidad del suceso $M$ . Para su cálculo haremos uso del Teorema de las Probabilidades Totales:

P(M)=P(M|S)P(S) + P(M|U)P(U)+P(M|R)P(R) = \\ \quad \\ \qquad= \frac{2}{3} · \frac{1}{2} + \frac{1}{2} ·\frac{3}{10} + \frac{1}{3} · \frac{1}{5} = \frac{20+9+4}{60} =\frac{11}{20}

El diagrama de árbol es opcional.

c) En este apartado nos piden la probabilidad del suceso $S|M$ . Y es inmediato que este puede ser calculado a partir del Teorema de Bayes:

P(S|M)= \frac{P(M|S)·P(S)}{P(S)} = \frac{ \frac{2}{3} · \frac{1}{2} }{\frac{11}{20} } =\frac{20}{33}

Problema 2 de Probabilidad

Si lanzamos al mismo tiempo dos dados idénticos y del tipo usual (es decir, que sean cúbicos, que todas sus caras tengan la misma probabilidad de quedar hacia arriba y que en cada una de ellas aparezca un número de puntos que varíe desde el uno hasta el seis), ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas en los dos dados coincida con la suma más frecuente? (2 puntos)

Solución

Asumiremos que al realizar el experimento aleatorio en lo que nos fijaremos será en los números de las caras que queden hacia arriba.

En este caso, el espacio muestral, conjunto de resultados posibles, está dado por:

E=\left\{ \left(1,1\right),\left(1,2\right),...,\left(1,6\right),\left(2,1\right),...,\left(2,6\right),...,(6,6)\right\}

Pero los sucesos de interés en este problema tienen que ver con la suma de estas caras visibles. Para determinar estos sucesos y sus probabilidades representamos la siguiente tabla de doble entrada:

El elemento $(3,6)$ del espacio muestral significa que en el dado $D_1$ el resultado ha sido un 3 y en el dado $D_2$ el resultado ha sido un 6. Por tanto la suma correspondiente a este resultado, como se observa en la tabla es 9.

La suma más frecuente es siete. Por lo que la probabilidad pedida es la del suceso:

Siete = \{(1,6),(2,5),(3,4), \\ \qquad \qquad \quad (4,3),(5,2),(6,1)\}

Siendo la respuesta al problema, aplicando la Regla de Laplace: $P(Siete)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ .

Comentario: Que los dados sean idénticos no influye en la resolución de este problema. Que no podamos distinguir si el resultado es, por ejemplo, $(1,2)$ o $(2,1)$ , no influye en decidir si los sucesos de interés ocurren o no, ya que la suma de las caras visibles en ambos casos es la misma.