Ordinaria 2022.

Problema 1 de Probabilidad

Una corporación fabrica herramientas de 3 tipos de calidades. Un 10% de calidad Alta; un 70% de calidad Estándar y un 20% de calidad Baja. Se sabe que son defectuosas el 1%; el 10% y el 30% del total de las herramientas respectivamente.
a) Se elige una herramienta al azar. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que sea defectuosa.
b) Se elige una herramienta que resulta ser defectuosa. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que la elegida sea de calidad estándar.

Solución

a) Los sucesos de interés son

$A$ : Herramientas de calidad Alta. $P(A)=0,1 = \frac{1}{10}$
$E$ : Herramientas de calidad Estándar. $P(E)=0,7 = \frac{7}{10}$
$B$ : Herramientas de calidad Baja. $P(B)=0,2 = \frac{1}{5}$

Además, debemos definir el suceso:

D

: Herramientas defectuosas.

que interviene en las probabilidades dadas, de algunos sucesos condicionados:

P(D|A)=0,01 \qquad P(D|E)=0,1 \qquad P(D|B)=0,3

Para calcular la probabilidad pedida aplicaremos el Teorema de las Probabilidades Totales:

P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|E)P(E)+P(D|B)P(B)=\\ \qquad \qquad = 0,01·0,1 + 0,1·0,7+0,3·0,2 = 0,131

b) En este apartado nos piden la probabilidad del suceso $E|D$ . Y es inmediato que este puede ser calculado a partir del Teorema de Bayes:

P(E|D)= \frac{P(D|E)·P(E)}{P(D)} = \frac{ 0,1·0,7 }{ 0,131} =\frac{70}{131}

Problema 2 de Probabilidad

El tiempo que transcurre hasta la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras viene dado, aproximadamente, por una distribución normal con un promedio de 1500 horas y una desviación típica de 200 horas.
a) ¿Qué porcentaje de impresoras fallarán antes de 1000 horas de funcionamiento?
b) Si compramos 500 impresoras ¿Cuántas de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 1000 y 2000 horas de uso?

Solución

Denotemos por:

X

: tiempo que transcurre hasta primera avería.

Entonces por hipótesis, $X\sim N(1500,200)$ .

a) Para calcular el porcentaje pedido, calcularemos la probabilidad de que una impresora (elegida al azar) falle antes de las 1000 horas.

Para calcularla, como los valores de los que disponemos (en la tabla) son los de una distribución $Z\sim N(0,1)$ , tendremos que tipificar.

Z=\frac{X-1500}{200} \sim N(0,1)

P(X\leq1000)=P\left(Z\leq\frac{1000-1500}{200}\right)=P\left(Z\leq-2,5\right)

Como $z_0 = -2,5$ es negativo, y no aparece en la tabla, tenemos que recurrir a las propiedades de la función de densidad de esta variable aleatoria, por ejemplo que es simétrica:

P(X\leq1000)=P\left(Z\leq-2,5\right) = P(Z \geq 2,5 ) = \\ = 1-P(Z < 2,5) =1- P(Z \leq 2,5)

P(X\leq 1000)=1- P(Z \leq 2,5) = \qquad \qquad \\ = 1 - 0,9938 = 0,0062

Por otro lado, si entendemos la probabilidad en el sentido clásico, es decir, a partir de la Regla de Laplace, esta probabilidad nos daría la razón de la población de impresoras que se espera que tengan una avería antes de las 1000 horas

Respuesta: El porcentaje de impresoras que se espera que tengan una avería antes de las 1000 horas es del 0,62%.

b) Primero calcularemos el porcentaje, de esas 500 impresoras, que se puede esperar que tengan su primera avería entre las 1000 y 2000 horas:

P(1000 < X \leq 2000)= \qquad \qquad \qquad \qquad \\ \quad \\ P\left(\frac{1000-1500}{200}< Z\leq\frac{2000-1500}{200}\right) =\\ \quad \\ = P(-2,5 < Z \leq 2,5 ) = P(Z \leq 2,5 ) - P(Z \leq -2,5)= \\ \quad \\ = P(Z \leq 2,5 ) - [1 - P(Z \leq 2,5)] = 2P(Z \leq 2,5) - 1 \\ \quad \\ =2·0,9938-1=0,9876

El porcentaje de impresoras de las 500 que se han comprado, que se esperan que duren entre 1000 y 2000 horas, es del 98,72%, esto se traduce en que

500*98,72/100 = 493,6

Por lo que podemos decir que se espera que aproximadamente 494 de esas impresoras tengan su primera avería entre las 1000 y 2000 horas.