Ordinaria 2023.

Problema 1 de Geometría.

Hallar el punto simétrico del punto

P(1,0,-1)

respecto de la recta

r \equiv \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{2}

Solución:

Debemos encontrar

1ro) la proyección ortogonal del punto $P$ sobre la recta $r$ . Esta proyección, $Q,$ es la intersección de la recta $r$ con el plano que contiene al punto $P$ y es ortogonal a la recta $r$ , llamemos a este plano $\pi$ . (Figura 1)

2do) $Q$ es el punto medio del segmento $PP'$ , siendo $P'$ el simétrico de $P$ respecto de $r$ y el punto buscado.

Figura 1

1ro) El vector normal de $\pi$ es el vector director de $r$ : $\overrightarrow{n_{\pi}}=\overrightarrow{d_{r}}=(1,2,2),$ luego la ecuación normal y general de $\pi$ son respectivamente:

Ec. \, Normal:\quad (x-1) + 2y+2(z+1)=0 \\ \, \\ Ec. \, General:\quad x+2y+2z+1=0 \qquad \qquad

Por otro lado, la ecuación paramétrica de $r$ es

r\equiv\left\{ \begin{array}{l} x=1+t\\ y=2t\\ z=2t \end{array}\right. t\in \mathbb{R} \qquad

y como $Q\in r \cap \pi$

\small Q(1+t, 2t, 2t)\in \pi \Rightarrow \\ \, \\ (1+t) +2(2t)+2(2t)+1=0 \Rightarrow \\ \, \\ \Rightarrow 9t=-2 \Rightarrow t=\frac{-2}{9}

siendo $Q(7/9, -4/9, -4/9)$ .

Figura 2

2do) Por otro lado, $Q$ es el punto medio del segmento de extremos $P$ y $P'(x, y, z)$ entonces

\small Q\left( \frac{x+1}{2}, \frac{y}{2}, \frac{z-1}{2}\right) = Q\left( \frac{7}{9}, \frac{-4}{9}, \frac{-4}{9}\right) \Rightarrow \\ \, \\x=5/9, \quad y=-8/9, \quad z=1/9

Entonces $P'\left(\frac{5}{9}, \frac{-8}{9}, \frac{1}{9}\right).$

Problema 2 de Geometría.

a) Determinar los valores del parámetro $k\in\mathbb{R}$ para que las dos rectas

r_1\equiv\left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=kt\\ z=k-2t \end{array}\right., t\in\mathbb{R} \qquad r_2 \equiv \left\{ \begin{array}{l} x+2y+2z =-1 \\ x +y + z = k \end{array}\right.

sean paralelas.

b) Para $k=2$ ¿Existe algún plano que contenga a las rectas $r_1$ y $r_2$ ? En caso afirmativo calcular el plano o los planos que las contengan.

Solución:

a) Un vector director de la recta $r_2$ debe ser perpendicular a los vectores normales de los planos que determinan la ecuación implícita de esta recta. En este caso los vectores $\overrightarrow{n_{1}}=(1,2,2)$ y $\overrightarrow{n_{2}}=(1,1,1)$ . Por esta razón podemos tomar como vector director de $r_2$ a:

\small \overrightarrow{d_{2}}= \overrightarrow{n_{1}}\times \overrightarrow{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ 1 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| =(0,1,-1)

En cambio un vector director de $r_1$ es $\overrightarrow{d_{1}}=(0, k, -2)$ .

Entonces estas rectas son paralelas si y solo si no son coincidentes y sus vectores directores $\overrightarrow{d_{1}}$ y $\overrightarrow{d_{2}}$ respectivamente son proporcionales:

\left[ \frac{0}{0}\right]=\frac{k}{1}=\frac{-2}{-1} \Leftrightarrow k=2

Observemos que para $k=2,$ $P_1(1,0,2)\in r_1$ no está en $r_2$ :

1+2·0+2·2=5\neq-1

luego las rectas no son coincidentes y si paralelas.

b) En el apartado anterior hemos visto que para $k=2$ las rectas $r_1$ y $r_2$ son paralelas. Entonces, por definición de “rectas paralelas”, existe un plano que las contiene a ambas.

Expande para ver una justificación de la unicidad del plano.

Que este plano es único, es un resultado elemental, en el sentido de que puede ser demostrado directamente a partir de uno de los axiomas del sistema axiomático propuesto por Hilbert en 1899, para la geometría Euclidea espacial.

1) Tres puntos no colineales determinan un único plano.

Si tomamos 2 puntos de una de las rectas y un punto de la otra recta, estos estarán en un único plano $\pi$ . Entonces cualquier plano que contenga a $r_1$ y $r_2$ tiene que contener a estos tres puntos y debe coincidir con $\pi$ . Por lo que el plano que contiene a ambas rectas es único, siendo este el plano $\pi$

Un vector normal, $\overrightarrow{n}$ , de un plano que contenga a ambas rectas paralelas, debe ser perpendicular al vector director de estas: $\overrightarrow{d_{2}}=(0, 1, -1)$ . Además, también debe ser perpendicular al vector $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{P_1P_2}$ formado por un par de puntos del plano, en particular $P_1(1, 0, 2) \in r_1$ , que obtenemos directamente de su ecuación paramétrica y $P_2 \in r_2$ .

Para obtener un punto $P_2 \in r_2$ , hacemos $z=0$ en su ecuación implícita y obtenemos $y=-3, x= 5$ : $P_2(5, -3, 0)$ .

Entonces

\small \overrightarrow{n}= \overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{d_{2}} = \left|\begin{array}{ccc} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ 0 & 1 & -1\\ 4 & -3 & -2 \end{array}\right| =(5,4,4)

y la ecuación normal de este plano es $5(x-1) + 4y + 4(z-2)=0$ y su ecuación general:

5x + 4y+ 4z -13=0