Extraordinaria 2023.

Problema 1 de Análisis

Sea

f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2-x} & \textrm{ si }x<1\\ \ln x & \textrm{ si }x\geq1 \end{array}\right.

a) Estudiar su continuidad y derivabilidad en $x=1$ . (1 punto)
b) Estudiar sus asíntotas verticales y horizontales. (1 punto)

Nota: Como veremos, este ejercicio es tan sumamente fácil que ni siquiera tendremos necesidad del calculo de las derivadas laterales. Como la función no es continua en $x=1$ , automáticamente podemos afirmar que tampoco es derivable en ese punto. Un ejercicio más completo es aquel en el que la función sería continua en ese punto y requeriría en ese caso el estudio de la continuidad y la derivabilidad en otros intervalos, aunque no fuese pedido explícitamente.

Solución

a) Estudiemos la continuidad en $x=1$ , verificando las tres condiciones que deben cumplirse para ello:

1) f(1)=0 \Rightarrow x=1\in Dom(f) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ \quad \\ \\ 2) \left\{ \begin{array}{l} \underset{x\rightarrow1^{-}}{\lim}f(x)=\underset{x\rightarrow1^{-}}{\lim}\frac{1}{2-x}=1\\ \underset{x\rightarrow1^{+}}{\lim}f(x)=\underset{x\rightarrow1^{+}}{\lim}\ln x=0 \end{array}\right.\Rightarrow\underset{x\rightarrow1^{-}}{\lim}f(x)\neq\underset{x\rightarrow1^{+}}{\lim}f(x)\Rightarrow\nexists\underset{x\rightarrow1}{\lim}f(x)

Como no se cumple esta segunda condición, podemos concluir que la función no es continua en $x=1$ . Además, como una condición necesaria para la derivabilidad es la continuidad, también podemos concluir que la función no es derivable en este punto.

Comentario: podemos clasificar la discontinuidad en $x=1$ , como una discontinuidad de salto finito.

b) Para las asíntotas horizontales debemos analizar lo que ocurre cuando $x$ tiende a $+\infty$ o $-\infty$ , es decir el comportamiento de la gráfica para los valores de $x$ “suficientemente” grandes:

\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}f(x) = \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\ln x = \infty

\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}f(x) = \underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\frac{1}{2-x} =0

entonces concluimos que ${\color{red}y=0}$ es una asíntota horizontal en ${\color{red}-\infty}$ .

Podemos afirmar, por otro lado, que la función $f(x)$ no tiene asíntotas verticales, porque esta función es continua en todo $\mathbb{R}$ , excepto en $x=1$ , donde tiene una discontinuidad de salto finito. Para la existencia de una asíntota vertical $x=a$ , es necesario, en este punto, una discontinuidad de salto infinito, es decir, que alguno de los límites laterales sea $+\infty$ o $-\infty$ .

Expande para ver análisis de la continuidad en

\mathbb{R}

y un esbozo de la gráfica de lafunción.

Para la continuidad de $f(x)$ observemos que: si ${\color{red} x<1}, f(x)=\frac{1}{2-x}$ que es continua por ser cociente de funciones continuas y el denominador no se anula en ningún punto de este intervalo.

Si ${\color{red}x>1}, f(x)=\ln x$ que esta definida y es continua ya que su argumento es positivo en este intervalo.

Figura: Gráfica de la función con Wolfram Alpha, ver más, link.

Figura: Gráfica de la función con Geogebra.

Problema 2 de Análisis

Dada la función

f(x) = x^2(x+3)

, determinar su dominio de definición, puntos de corte de su gráfica con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. (2puntos)

Solución

El dominio de esta función es todo $\mathbb{R}$ , $Dom(f)=\mathbb{R}$ , por ser una función polinómica. Por esta misma razón, también es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$ .

Los puntos del eje $X$ tienen ordenada $y=0$ . Entonces, para determinar los cortes con el eje $X$ debemos resolver la ecuación:

0=y=f(x)=x^2(x+3) \qquad \Leftrightarrow \qquad x=0, x=-3

entonces estos puntos de cortes son $(0,0)$ y $(-3,0)$ .

Para determinar el corte con el eje $Y$ , $x=0$ . Entonces en $(0,0)$ la función corta ambos ejes.

Para determinar la monotonía de la función y sus extremos relativos: 1) calculamos los puntos críticos, los valores de la variable $x$ donde se anula la derivada de la función

f(x)=x^3+3x^2 \Rightarrow f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2)=0\Rightarrow x=0, x=-2

2) Analizamos el signo de la derivada

{\color{darkorange}x=-3 \in (-\infty,-2)} \\ f'(-3)= 3(-3)(-3+2)=9>0 \\ \quad \\ {\color{darkorange}x=-1 \in (-2,0)} \\ f'(-0,5)= 3(-1)(-1+2)=-3<0 \\ \quad \\ {\color{darkorange}x=1 \in (0,\infty)} \\ f'(1)= 3(1+2)=9>0

Entonces concluimos que $f(x)$ es decreciente en el intervalo $(-2, 0)$ y creciente en los intervalos $(-\infty, -2)$ y $(0, \infty)$ .

A partir de aquí, también concluimos que tiene un mínimo relativo en el punto $(0,0)$ , $f(0)=0$ . Y tiene un máximo relativo en el punto $(-2,4)$ , $f(-2)=4$ .

Comentario: Estos extremos relativos no son absolutos porque, por ejemplo $\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}f(x)=-\infty$ y $\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}f(x)=\infty$ .

Problema 3 de Análisis

Calcular:

a) \underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{\textrm{sen}(x^{2})}{x^{3}+4x^{2}} \\ \quad \\ b) \intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\textrm{sen}(x)\cos^{3}(x)dx

Solución

\textcolor{#FF6900}{a)} \qquad \underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{\textrm{sen}(x^{2})}{x^{3}+4x^{2}}=\underset{Indet.}{\left(\frac{0}{0}\right)}\overset{L'Hopit.}{=}\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{2x\cos(x^{2})}{3x^{2}+8x}=\underset{Indet.}{\left(\frac{0}{0}\right)}\overset{L'Hopit.}{=} \\ \quad \\ =\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{2\cos(x^{2})-4x^{2}\textrm{sen}(x^{2})}{6x+8}=\frac{2-0}{0+8}=\frac{1}{4}

b) Calculemos primero (por separado) una primitiva de la función, aunque realmente es una integral inmediata

\int\textrm{sen}(x)\cos^{3}(x)dx = \\ \, \\ \frac{-1}{4}\int-4\cos^{3}(x)\textrm{sen}(x)dx = \frac{-1}{4}\cos ^4 (x) +k

Expande para ver con cambio de variable

Haciendo $t=\cos(x)$ , $dt=-\textrm{sen}(x)dt$

\int\textrm{sen}(x)\cos^{3}(x)dx =\int t^{3}dt = \\ \quad \\ = \frac{-1}{4}t^4 +k= \frac{-1}{4}\cos ^4 (x) +k

\int_0^\frac{\pi}{2}\textrm{sen}(x)\cos^{3}(x)dx = \left.\frac{-1}{4}\cos^{4}(x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{^{2}}} = \\ \quad \\ =\frac{-1}{4}\cos^{4}(\frac{\pi}{2}) - \frac{-1}{4}\cos^{4}(0) = 0+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}

Problema 4 de Análisis

Dadas las funciones

f(x)=-x^2

g(x)=x^3

.
a) Comprobar que las gráficas de dichas funciones en [−1,0] sólo se cortan para

x=-1

x=0

.
Demostrar que en [−1,0],

g(x) \geq f(x)

(1 punto)
b) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de dichas funciones. (1 punto)

Solución

a) Encontremos, sin más, el punto de corte de estas funciones

f(x)=g(x) \Rightarrow -x^2 =x^3 \Rightarrow -x^2 - x^3 =0 \Rightarrow \\ \, \\ \Rightarrow -x^2(1+x)=0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0\\ x=-1 \end{array}\right.

“Comprobemos” que en este intervalo se cumple que $g(x) \geq f(x)$ , para ello tomemos un valor cualquiera en el intervalo, por ejemplo $x_0= -0.5$ . Entonces $g(-0,5) = -\frac{1}{8} \geq -\frac{1}{4} = f(-0,5)$ y la desigualdad se debe mantener en todo el intervalo.

Expande, para ver una “Demostración“:

Hagamos $h(x) = g(x) - f(x)$ . Antes hemos comprobado que $h(x_1) >0, x_1=-0,5$ .

Supongamos el absurdo, que existe $x_2\in(-1,0)$ tal que $h(x_2)<0$ , es decir que $g(x_2) < f(x_2)$ . El intervalo cerrado determinado por $x_1$ y $x_2$ esta incluido en el intervalo $(0,1)$ .

La función $h(x)$ es continua, por ser polinómica, en el intervalo cerrado determinado por $x_1$ y $x_2$ y toma signos distintos en los extremos del intervalo. Por el Teorema de Bolzano debe existir un valor $c$ en el intervalo abierto donde $h(c)$ se anule, es decir donde $g(c) = f(c)$ . Pero esto es una contradicción porque $c\in(-1,0)$ y $h(x)$ solo se anula en $x=0$ y $x=-1$ .

b) Las gráficas de estas funciones solo encierran un área en el intervalo $[-1,0]$ , que es el área pedida

Área = \left|\intop_{-1}^{0}g(x)-f(x)dx\right|=\left|\intop_{-1}^{0}x^{3}+x^{2}dx\right|= \\ \, \\ =\left|\left.\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{0}\right|=\left|0-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)\right|=\left|\frac{1}{12}\right|=\frac{1}{12}

En este caso el valor absoluto no era necesario, pues sabíamos que en este intervalo $g(x) \geq f(x)$ .