Ordinaria 2022.

Problema 1 de Análisis

Dada la función

f(x)=xe^x

, determínense su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Esbócese también su gráfica.

Solución

\circledcirc

El dominio de esta función es:

Dom(f)=\mathbb{R}

, donde es continua y derivable por ser producto de una función afín y una exponencial.

\circledcirc

La función no tiene asíntotas verticales, pues estas hay que buscarlas en valores

x=a

, donde alguno de los límites laterales debe ser

+\infty

-\infty

\circledcirc

Para las asíntotas horizontales debemos analizar lo que ocurre cuando

x

tiende a

+\infty

-\infty

, es decir el comportamiento de la gráfica para los valores de

x

“suficientemente” grandes:

\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}f(x) = \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}xe^x= \infty·\infty=\infty \\ \qquad \\ \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{f(x)}{x} = \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{xe^x}{x}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}e^x=\infty

Nota: $m=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{f(x)}{x}$ , es la pendiente de la asíntota oblicua, si este límite es fínito.

\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}f(x) = \underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}xe^x = \underset{Indet.}{\left(\infty\cdot0\right)} = \underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\frac{x}{e^{-x}} = \\ \quad \\ = \underset{Indet.}{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}\overset{L'Hopit.}{=}\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\frac{1}{-e^{-x}}=\frac{1}{-\infty}=0

entonces concluimos que ${\color{red}y=0}$ es una asíntota horizontal en ${\color{red}-\infty}$ . En $+\infty$ la función no tiene asíntotas horizontales ni oblicuas.

\circledcirc

Para el estudio de la monotonía y los puntos extremos analicemos la primera derivada de la función:

f'(x)=e^x + xe^x = e^x(1+x)=0 \Rightarrow x=-1 \\ \, \\ {\color{darkorange}x=-2 \in (-\infty,-1)} \\ f'(-2)= e^{-2}(1-2) \approx -0,135 < 0 \\ \quad \\ {\color{darkorange}x=0 \in (-1,\infty)} \\ f'(0)= e^0(1+0) = 1>0

Entonces concluimos que $f(x)$ es decreciente en el intervalo $(-\infty, -1)$ y creciente en el intervalo $(-1, \infty)$ . A partir de aquí, también concluimos que tiene un mínimo relativo y absoluto en el punto $(-1,-e^{-1})$ , $f(-1)=-e^{-1}\approx -0,37$ . Y no tiene máximos relativos.

Curvatura:

\circledcirc

Para el estudio de la curvatura y los puntos de inflexión analizamos la segunda derivada de la función:

f''(x)=e^x(x+1)+e^x= \qquad \qquad \\ =e^x(x+2)=0 \Rightarrow x=-2 \\ \, \\ {\color{darkorange}x=-3 \in (-\infty,-2)} \\ f''(-3)= e^{-3}(2-3) \approx -0,1 < 0 \\ \quad \\ {\color{darkorange}x=0 \in (-2,\infty)} \\ f''(0)= e^0(0+2) = 2 >0

Entonces concluimos que $f(x)$ es convexa en el intervalo $(-\infty, -2)$ y cóncava en el intervalo $(-2, \infty)$ . A partir de aquí, también concluimos que tiene un punto de inflexión en el punto $(-2,-2e^{-2})$ , $f(-2)=-2e^{-2} \approx -0,27$ .

Esbozo de la función

Para el esbozo de la función debemos tener en cuenta los elementos anteriormente estudiados. Los puntos encontrados (extremos y puntos de inflexión) deben ser representados.

Expande para ver sugerencia

En este ejercicio las ordenadas del mínimo y del punto de inflexión están muy próximos a cero y si tomamos la misma escala para el eje de las abscisas y el eje de la ordenada quizás nos resulte más incomoda la representación.

\circledcirc

1) No tomamos la misma escala en ambos ejes. 2) Representamos en los puntos de corte con los ejes, puntos extremos y puntos de inflexión. 3) Representamos las asíntotas y como se acerca la grafica de la función a ellas (para horizontales u oblicuas puede hacer falta la curvatura) 4) Realizar el esbozo teniendo en cuenta la monotonía y la curvatura.

Problema 2 de Análisis

Calcule:

a) \qquad \underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{e^x-x-1}{x^2} \\ \quad \\ b) \qquad \intop_{0}^{1}xe^xdx \qquad

Solución

a) \qquad \underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{e^{x}-x-1}{x^{2}}=\underset{Indet.}{\left(\frac{0}{0}\right)}\overset{L'Hopit.}{=}\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{e^{x}-1}{2x}= \\ \, \\ =\underset{Indet.}{\left(\frac{0}{0}\right)}\overset{L'Hopit.}{=}\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{e^{x}}{2}=\frac{e^{0}}{2}=\frac{1}{2}

b) Calculemos primero una primitiva de la función por el Método de Integración por Partes

u=x \qquad \qquad dv=e^{x}dx \\ du=1dx \qquad \quad v=e^{x} \quad

\int xe^{x}dx=xe^{x} - \int e^{x}dx= \\ \quad \\ = xe^{x} -e^{x} = (x-1)e^{x}

\int_{0}^{1}xe^{x}dx = \left. (x-1)e^{x}\right]_{0}^{1} = (1-1)e^1 -(0-1)e^0 = 0+1 =1

Problema 3 de Análisis

Dadas las curvas de ecuaciones

y=\sqrt{3x}

y=\frac{1}{3}x^2

,
a) Dibuje las curvas y señale el recinto plano comprendido entre ambas. (1 punto)
b) Calcule el área de dicho recinto. (1 punto)

Solución

Primero destaquemos que $Dom(f)=[0,\infty)$ , $f(x)=\sqrt{3x}$ , y que en este intervalo $g(x)=\frac{1}{3}x^2$ es su función inversa (este detalle no es imprescindible para la resolución del ejercicio), por esta razón ambas funciones son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Expande para ver demostración de lo anterior.

x\geq 0 \Rightarrow f\circ g(x)=f\left(g(x)\right)= f\left( \frac{1}{3}x^2 \right) =\\ \, \\= \sqrt{3\frac{1}{3}x^2} = x

x\geq 0 \Rightarrow g\circ f(x)=g\left(f(x)\right)= g\left( \sqrt{3x} \right) =\\ \, \\= \frac{1}{3}\left(\sqrt{3x} \right)^2 = \frac{1}{3} 3x = x

Para la representación gráfica de estas funciones es importante que tengamos una noción de como son sus gráficas y complementar esta información con una tabla de valores

$x$	$y=\sqrt{3x}$
0	0
1/3	1
3	3

$x$	$g(x)=\frac{1}{3}x^2$
0	0
2	4/3
3	3

Aunque al construir la tabla, hemos obtenido los puntos de corte es recomendable obtenerlos analíticamente

f(x)=g(x) \Rightarrow \sqrt{3x}=\frac{1}{3}x^2 \Rightarrow\\ \, \\ \Rightarrow 3x=\frac{1}{9}x^4 \Rightarrow x^4 -27x=0 \Rightarrow \\ \, \\ \Rightarrow x(x^3-1)=0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0\\ x=1 \end{array}\right.

b) Para el calculo del área:

Área = \left|\int_{0}^{3}\sqrt{3x}-\frac{1}{3}x^2dx\right| =\left| \left.\frac{\sqrt{3}x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^3}{9}\right]_{0}^{3} \right| = \\ \quad \\ = \left| \left(\frac{2\sqrt{3}·3^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{3^3}{9}\right) -0\right| = \left|6-3\right| =3u^2

En este caso el valor absoluto no era necesario, pues sabíamos que en este intervalo $f(x) \geq g(x)$ .

Problema 4 de Análisis

a) Halle el área del recinto del plano limitado por la gráfica de

f(x)=x^3 - 4x

, el eje

OX

y las rectas

x=0

x=2

. (1 punto)
b) Calcule

\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{x\textrm{sen}(x)}{2-2\cos x}

(1 punto)

Solución

a) Para el cálculo del área pedida 1) Encontramos los cortes de la función $f$ con el eje $OX$ .

f(x)=x^3-4x=0 \Rightarrow x(x^2-4)=0 \Rightarrow \qquad \\ \, \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ x=0\\ x=2 \end{array}\right.

2) Nos quedamos con los puntos de corte que están en el intervalo $(0,2)$ , determinado por las rectas verticales dadas. Puede considerarse el intervalo cerrado.

En este caso tenemos un solo intervalo de integración

Área = \left|\int_{0}^{2} x^3 - 4x\, dx\right| =\left| \left.\frac{x^4}{4}-2x^2 \right]_{0}^{2} \right| = \\ \, \\ \left| \left(\frac{16}{4}-\frac{4}{2}\right) - 0 \right| =4u^2

\qquad \underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{x\textrm{sen}(x)}{2-2\cos x}=\underset{Indet.}{\left(\frac{0}{0}\right)}\overset{L'Hopit.}{=}\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{\textrm{sen}x+x\cos x}{2\textrm{sen}x}=\\ \, \\ =\underset{Indet.}{\left(\frac{0}{0}\right)}\overset{L'Hopit.}{=}\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{\cos x+\cos x-x\textrm{sen}x}{2\cos x}=\frac{2}{2}=1