Ordinaria 2024.

Problema 1 de Álgebra

a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro a \in \mathbb{R}.

\left\{ \begin{array}{l}
x+\frac{y}{2}+z=0\\
2ax+y=0\\
2x+y+az=0
\end{array}\right.

b) Resolverlo para a=1.

Solución:

a) Este es un sistema de ecuaciones homogéneo (los términos independientes son todos ceros). Todo sistema de ecuaciones homogéneo es compatible ya que rg(A|b)=rg(A), y el resultado sigue del Teorema de Rouche Frobenius.

(A|b)=\left(\begin{array}{rrr|r}
1 & \frac{1}{2} & 1 & 0\\
2a & 1 & 0 & 0\\
2 & 1 & a & 0
\end{array}\right)

Más aún, por el Teorema de Rouche-Frobenius el sistema de ecuaciones anterior es compatible determinado si y solo si rg(A|b)=rg(A)= \textrm{ nº de incógnitas} =3

Y es compatible indeterminado si y solo si rg(A|b)=rg(A)< \textrm{ nº de incógnitas} =3

Observemos también que rg(A)=rg(A|b) \geq 2 porque el menor 

\left|\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 1\\ 1 & 0
\end{array}\right| = -1 \neq 0

Pero, rg(A)=3 si y solo si |A| \neq 0:

\footnotesize  \left|\begin{array}{ccc}
1 & \frac{1}{2} & 1\\
2a & 1 & 0\\
2 & 1 & a
\end{array}\right| 
\overset{\begin{array}{c}
\tiny F_{2}^{'}=F_{2}-2F_{1} \\
\tiny F_{3}^{'}=F_{3}-2F_{1}
\end{array}}{=}  
\left|\begin{array}{ccc}
1 & \frac{1}{2} & 1\\
2a-2 & 0 & -2\\
0 & 0 & a-2 \end{array}\right|= \\ \, \\
=\frac{-1}{2}\left|\begin{array}{cc}
2(a-1) & -2\\
0 & a-2
\end{array}\right| = -(a-1)(a-2) =0 
\Leftrightarrow  \\ \, \\ 
\left\{ \begin{array}{c} a=1\\ o \\
a=2 \end{array}\right.

Nota: Cálculo de |A| con Wolfram Alpha.

Entonces concluimos que:

  • CASO I: Si a \neq 1 y a\neq 2 entonces el sistema de ecuaciones es compatible determinado, ya que rg(A|b)=rg(A)= \textrm{ nº de incógnitas} =3.
  • CASO II: Si a = 1 o a = 2 entonces el sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, ya que 2=rg(A|b)=rg(A)< \textrm{ nº de incógnitas} =3

b) Hemos visto en el apartado a), que para a= 1 el sistema es compatible indeterminado. En este caso la matriz del sistema nos queda

\small (A|b)=\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0\\ 2 & 1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)

\overset{\begin{array}{c}
\tiny F_{2}^{'}=F_{2}-2F_{1}\\ \tiny F_{3}^{'}=F_{3}-F_{2} \end{array}}{\longrightarrow}
 \left(\begin{array}{rrr|l}
1 & \frac{1}{2} & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 
\end{array}\right)   \\ \, \\

\overset{\begin{array}{c}   \tiny F_{3}^{'}=2F_{3}-F_{2} \end{array}}{\longrightarrow}
 \left(\begin{array}{rrr|l}
1 & \frac{1}{2} & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 
\end{array}\right)    \Rightarrow \\ \, \\    \Rightarrow

\left\{ \begin{array}{r} x+\frac{y}{2}+z=0\\ -2z=0 \end{array}\right.   \Rightarrow  
 \left\{ \begin{array}{l} z=0\\ x=-\frac{y}{2} \end{array}\right. 
\Rightarrow  
\left\{ \begin{array}{l}
x=-t/2 \\ 
y=t\\
z=0
\end{array}\right.    t \in \mathbb{R}

Problema 2 de Álgebra

Sean a \in \mathbb{R} y 

\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2\\ a & 1 & 0\\ 1 & 1 & a
\end{array}\right)

a) Calcular el determinante y el rango de M para cada valor a \in \mathbb{R}.

b) Para a=0, calcular el determinante de la matriz P cuando 2PM=M^3

Solución:

a) El determinante de M está dado por 

\small |M| \overset{\begin{array}{c} \tiny F_{2}^{'}=F_{2}-F_{1} \\ \tiny F_{3}^{'}=F_{3}-F_{1} \end{array}}{=}  
\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2\\ a-1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & a -2
\end{array}\right| = \\ \, \\
=-\left|\begin{array}{cc} a-1 & -2\\ 0 & a-2
\end{array}\right| = -(a-1)(a-2)

entonces |M|=0 si y solo si a=1 o a=2.

  • CASO I: Si a \neq 1 y a\neq 2 entonces rg(M)=3 , ya que |M|\neq 0.
  • CASO II: Si a = 1 o a = 2, como |M|=0 y el menor
\left|\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 0
\end{array}\right| = -2 \neq 0

entonces rg(M)=2.

Nota: Cálculo de |M| con Wolfram Alpha.

b) Para a=0, tenemos del apartado anterior, que |M|=-(0-1)(0-2)=-2, entonces

\left.\begin{array}{c}
|2PM|=2^{3}|P||M|\\
|M^{3}|=|M|^{3}
\end{array}\right\} \Rightarrow 2^{3}|P||M|=|M|^{3}  \Rightarrow \\ \, \\
 \Rightarrow  |P|=\frac{1}{8}|M|^2 = \frac{4}{8} =\frac{1}{2}

Hemos utilizado que:

  1. el determinante del producto de matrices cuadradas es el producto de los determinantes y
  2. |kA|=k^n|A| para cualquier número real k y matriz cuadrada de orden n.