Extraordinaria 2022.

Problema 1 de Álgebra

a) Discuta según los valores del parámetro $m$ el sistema de ecuaciones lineales:

\left\{ \begin{array}{l} x+y+mz=4\\ 2x-y+2z=3\\ x-2y+z=0 \end{array}\right.

b) Resuélvalo para $m=2$ .

Solución

a) Partimos de la matriz y matriz ampliada de este sistema

(A|b)=\left(\begin{array}{rrr|l} 1 & 1 & m & 4\\ 2 & -1 & 2 & 3\\ 1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right)

Podemos ver que el menor de las filas 1 y 2, columnas 1 y 2:

\small \left|\begin{array}{rr}1 & 1\\ 2 & -1 \end{array}\right| =-3 \neq 0 \qquad (I)

por lo que $rg(A)\geq 2$ y $rg(A|b)\geq 2$

Pero $rg(A)=3$ si y solo si $|A| \neq 0$ :

\footnotesize |A| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & m\\ 2 & -1 & 2\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right| \overset{\begin{array}{c} \tiny F_{2}^{'}=F_{2}-F_{3} \\ \tiny F_{2}^{'}=F_{2}-2F_{3} \end{array}}{=} \left|\begin{array}{ccc} 0 & 3 & m-1\\ 0 & 3 & 0\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right|= \\ \, \\ =\left|\begin{array}{rr} 3 & m-1\\ 3 & 0 \end{array}\right| = -3(m-1) =0 \Leftrightarrow m=1

Entonces si $m\neq 1$ , $rg(A)=3$ y como $(A|b)$ solo tiene 3 filas, $rg(A|b)=3$ .

Por otro lado, si $m = 1$ y orlamos el menor $(I)$ con la cuarta columna

\footnotesize \left|\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 4\\ 2 & -1 & 3\\ 1 & -2 & 0 \end{array}\right| =(-16+3)-(-4-6)=-3\neq 0

Entonces concluimos que:

CASO I: Si $m \neq 1$ entonces por el Teorema de Rouche-Frobenius el sistema de ecuaciones es compatible determinado ya que $rg(A|b)=rg(A)= \textrm{ nº de incógnitas} =3$
CASO II: Si $m = -1$ entonces por el Teorema de Rouche-Frobenius el sistema de ecuaciones el sistema de ecuaciones es incompatible ya que $2=rg(A)\neq rg(A|b)= 3$ .

b) Resolvamos el sistema para $m=2$ por el método de Gauss, sabemos del apartado anterior que el sistema en este caso es compatible determinado, tiene solución única.

\footnotesize\left(\begin{array}{rrr|l} 1 & 1 & 2 & 4\\ 2 & -1 & 2 & 3\\ 1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right) \overset{\begin{array}{c} \tiny{F_{2}^{'}=F_{2}-2F_{1}}\\ \tiny{F_{3}^{'}=F_{3}-F_{1}} \end{array}} {\longrightarrow} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 4\\ 0 & -3 & -2 & -5\\ 0 & -3 & -1 & -4 \end{array}\right) \\ \, \\ \overset{\begin{array}{c} \tiny{F_{3}^{'}=F_{3}-F_{2}} \end{array}} {\longrightarrow} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 4\\ 0 & -3 & -2 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \Longrightarrow

\footnotesize \left\{ \begin{array}{r} x+y+2z=4\\ -3y-2z=-5\\ z=1 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} z=1\\ -3y-2=-5 \Rightarrow y= 1\\ x+1+2=4 \Rightarrow x=1 \end{array}\right. \Rightarrow \\ \, \\ \boxed{\left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=1\\ z=1 \end{array}\right.}

Problema 2 de Álgebra

a) Dada las matrices

A=\left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{rr} 0 & 2\\ 1 & 0 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{rr} 1 & 3\\ 2 & 2 \end{array}\right),

hállese la matriz $X$ tal que $AX+B=C$ .

b) Dadas las matrices

M=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0\end{array}\right), N=\left(\begin{array}{rr} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right), P=\left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),

explíquese cuales de los productos $MN$ , $MP$ , $NP$ pueden calcularse, y calcúlense cuando se pueda.

Solución

a) Observemos en primer lugar que la matriz $A$ es invertible.

\small |A|=\left|\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{array}\right| = 1-0=1 \Rightarrow \\ \,\\ A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj^t(A) = \frac{1}{1} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{array}\right)