Ordinaria 2022.

Problema 1 de Álgebra

Dado el sistema

\left\{ \begin{array}{l} 2x+2my-z=0\\ x+2y+mz=0\\ x-my+mz=0 \end{array}\right.

a) Discuta el sistema el sistema según los distintos valores de $m$ .

b) Resuelva el sistema si $m=-2$ .

Solución

a) Este es un sistema de ecuaciones homogéneo (los términos independientes son todos ceros). Todo sistema de ecuaciones homogéneo es compatible ya que $rg(A|b)=rg(A)$ , y el resultado sigue del Teorema de Rouche Frobenius.

(A|b)=\left(\begin{array}{lll|l} 2 & 2m & -1 & 0\\ 1 & 2 & m & 0\\ 1 & -m & m & 0 \end{array}\right)

Más aún, por el Teorema de Rouche-Frobenius el sistema de ecuaciones anterior es compatible determinado si y solo si $rg(A|b)=rg(A)= \textrm{ nº de incógnitas} =3$

Pero $rg(A)=3$ si y solo si $|A| \neq 0$ :

\footnotesize \left|\begin{array}{ccc} 2 & 2m & -1\\ 1 & 2 & m\\ 1 & -m & m \end{array}\right| \overset{\begin{array}{c} \tiny F_{1}^{'}=F_{1}-2F_{3} \\ \tiny F_{2}^{'}=F_{2}-F_{3} \end{array}}{=} \left|\begin{array}{ccc} 0 & 4m & -1-2m\\ 0 & 2+m & 0\\ 1 & -m & m \end{array}\right|= \\ \, \\ =\left|\begin{array}{cc} 4m & -1-2m\\ 2+m & 0 \end{array}\right| = (2+m)(1+2m) =0 \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{c} m=-2\\ o \\ m=-1/2 \end{array}\right.

Entonces concluimos que:

CASO I: Si $m \neq -2$ y $m\neq -1/2$ entonces el sistema de ecuaciones es compatible determinado.
CASO II: Si $m = -2$ o $m = -1/2$ entonces el sistema de ecuaciones es compatible indeterminado.

b) Hemos visto en el apartado a), que para $m = -2$ el sistema es compatible indeterminado. En este caso la matriz del sistema nos queda

\small \left(\begin{array}{rrr|l} 2 & -4 & -1 & 0\\ 1 & 2 & -2 & 0\\ 1 & 2 & -2 & 0 \end{array}\right) \overset{\begin{array}{c} \tiny F_{2}^{'}=2F_{2}-F_{1}\\ \tiny F_{3}^{'}=F_{3}-F_{2} \end{array}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{rrr|l} 2 & -4 & -1 & 0\\ 0 & 8 & -3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \Rightarrow \\ \, \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} 2x-4y-z=0\\ 8y-3z=0 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=3z/8\\ 2x=3z/2 + z =5z/2 \end{array}\right. \Rightarrow \\ \, \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=5t/4 \\ y=3t/8\\ z=t \end{array}\right. t \in \mathbb{R}

Expande para ver otra solución a b)

Para $m = -2$

\small (A|b) =\left(\begin{array}{rrr|l} \color{red}2 & \color{red}-4 & -1 & 0\\ \color{red}1 & \color{red}2 & -2 & 0\\ 1 & 2 & -2 & 0 \end{array}\right), \left|\begin{array}{cc}2 & -4\\ 1 & 2\end{array}\right| =8 \neq 0

Entonces, haciendo $z=t \in \mathbb{R}$

\left\{ \begin{array}{l} 2x-4y=t\\ x+2y =2t \end{array}\right., \small \left(\begin{array}{rr|l} 2 & -4 & t \\ 1 & 2 & 2t\\ \end{array}\right)

y aplicando Cramer

\small x=\frac{\left|\begin{array}{rr} t & -4\\ 2t & 2\\ \end{array}\right|}{8} = \frac{10t}{8} = \frac{5t}{2} \\ \, \\ y= \frac{\left|\begin{array}{rr} 2 & t\\ 1 & 2t\\ \end{array}\right|}{8} = \frac{3t}{8} = \frac{5t}{4}

Problema 2 de Álgebra

Dada la matriz

A=\left(\begin{array}{rr} a & a\\ 0 & 1 \end{array}\right),

calcule el valor de $a$ que hace que:

A^2 = A^{-1} + \left(\begin{array}{rr} 0 & 3\\ 0 & 0 \end{array}\right)

Solución

Observemos: que $A$ tiene una estructura concreta y es una matriz de dimensión pequeña. Lo que nos lleva a que quizás sea mejor resolver la ecuación dada teniendo en cuenta esta estructura.

\small A^2 = \left(\begin{array}{rr} a & a\\ 0 & 1 \end{array}\right) · \left(\begin{array}{rr} a & a\\ 0 & 1 \end{array}\right) = \\ \, \\ =\left(\begin{array}{rr} a^2 & a^2+a\\ 0 & 1 \end{array}\right) \\ \, \\ A^{-1} = \frac{1}{|A|}Adj^t(A) = \frac{1}{a} \left(\begin{array}{rr} 1 & -a\\ 0 & a \end{array}\right) = \\ \, \\ =\left(\begin{array}{rr} \frac{1}{a} & -1\\ 0 & 1 \end{array}\right)

Entonces:

\small \left(\begin{array}{rr} a^2 & a^2+a \\ 0 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} \frac{1}{a} & -1\\ 0 & 1 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr} 0 & 3\\ 0 & 0 \end{array}\right) \Rightarrow \\ \, \\ \left(\begin{array}{rr} a^2 & a^2+a\\ \color{green}0 & \color{green}1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} \frac{1}{a} & 2\\ \color{green}0 & \color{green}1 \end{array}\right) \Rightarrow \\ \, \\ \left\{ \begin{array}{l} a^{2}=\frac{1}{a}\\ a^{2}+a=2 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^{3}=1 \Rightarrow \color{purple} a=1\\ \color{green} 1^{2}+ 1=2 \checkmark \end{array}\right.

Concluimos que $a=1$ es el único valor que hace posible la relación dada.