Relación entre Rectas y Planos

(1) Distancia entre dos Planos

Definición: Las distancia entre dos planos es la menor de las distancias de un punto de un plano a otro punto del otro plano.

Si dos planos $\alpha$ y $\beta$ son secantes un punto $P$ de la intersección cuenta como punto de $\alpha$ y como punto de $\beta$ , entonces $d(\alpha,\beta)=d(P,P)=0$ .

Analicemos ahora el caso en que los planos $\alpha$ y $\beta$ son paralelos:

Vimos en: “Distancia de un Punto a un Plano“ que la distancia de un punto del plano $\alpha$ al plano $\beta$ es la distancia entre este punto y su proyección ortogonal en $\beta$ .

Ahora podemos observar que dos puntos de $\alpha$ y sus proyecciones ortogonales en $\beta$ forman un rectángulo. Por esta razón, las distancias de estos puntos a sus respectivas proyecciones ortogonales son iguales, e iguales a sus respectivas distancias al plano $\alpha$ .

Teorema: La distancia de un plano a otro plano paralelo coincide con la distancia de un punto de estos planos a su proyección ortogonal en el otro plano.

(2) Fórmula para la distancia entre dos planos paralelos.

Partimos de la ecuaciones generales de los planos paralelos $\alpha$ y $\beta$ :

Debemos destacar que los vectores normales que han sido utilizados para estas ecuaciones más que proporcionales son iguales.

Tomemos un punto $P(x_0,y_0,z_0) \in \alpha$ , entonces

Ax_0 + By_0 + Cz_0 +D_{\alpha}=0

Por otro lado, sabemos que $d(\alpha, \beta)=d(P,\beta)$ y de la formula de la distancia de un punto a un plano tenemos que:

d(P,\beta) = \frac{\left|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D_{\beta}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}=\frac{\left|-D_{\alpha}+D_{\beta}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}

ya que $D_{\alpha}=-Ax_0 - By_0 - Cz_0$ .

Tenemos entonces la siguiente fórmula para la distancia entre dos planos paralelos:

Ejercicio 1:

Halla la distancia entre los planos $\pi_{1} \equiv x - 5y + 2z - 21 =0$ y $\pi_{2} \equiv 2x - 10y + 4z + 8 =0$ .

Solución: Discutimos dos vías de resolución del problema, pero que en el fondo son la misma.

1ra Vía) (Sería la más eficiente dadas las ecuaciones generales de los planos).

Para aplicar esta fórmula es necesario que en las ecuaciones generales de los planos se utilice el mismo vector normal, por eso es necesario que en la ecuación general de $\pi_2$ dividamos entre 2: $\pi_{2} \equiv x - 5y + 2z + 4 = 0$ :

d(\pi_1 , \pi_2)=\frac{\left|4-(-21)\right|}{\sqrt{1^{2}+(-5)^{2}+2^{2}}}= \frac{25}{\sqrt{30}}=\frac{5\sqrt{30}}{6}

2da Vía) (En este caso, casi igual de eficiente).

Necesitamos un punto de uno de los planos, por ejemplo de $\pi_1$ . Para ello tomamos los valores (por conveniencia) $y=z=0$ , luego

x-21=0 \quad \Rightarrow \quad x=21

y tenemos el punto $P(21,0,0)\in \pi_1$ . Ahora solo resta hallar

d(\pi_1,\pi_2)=d(P,\pi_2) = \qquad \qquad \qquad\\ \quad = \frac{\left|2·21+B-10·0+4·0+8\right|}{\sqrt{2^{2}+(-10)^{2}+4^{2}}}= \\ \quad =\frac{50}{\sqrt{120}}=\frac{5\sqrt{30}}{6}

Ejercicio 2:

Halla la distancia entre los planos $\pi_{1} \equiv x - 5y + 2z - 21 =0$ y $\pi_{2} \equiv (x,y,z)=(1,2,-1)+\lambda(3,1,1)+\mu(-1,-1,-2)$ .

1ra Vía) (Sería la más eficiente dado que no disponemos de las dos ecuaciones generales de los planos).

Verificamos que los planos son efectivamente paralelos, en caso contrario la distancia sería cero. Basta que el vector normal de $\pi_1$ , $n_1 =(1,-5,2)$ , sea perpendicular a los dos vectores generadores de $\pi_2$ , $u_1=(3,1,1)$ y $u_2=(-1,-1,-2)$ :

n_1·u_1 =1·3 - 5·1 + 2·1 = 0 \qquad \qquad \\ n_1·u_2=1·(-1) - 5·(-1) + 2·(-2)=0

luego los planos son paralelos o coincidentes.

d(\pi_1, \pi_2)=d(P,\pi_1);\qquad P(1,2,-1)

d(P,\pi_1)= \frac{\left|1-5·2+2·(-1)-21\right|}{\sqrt{1^{2}+(-5)^{2}+2^{2}}} =\frac{32}{\sqrt{30}}=\frac{16\sqrt{30}}{15}

2da Vía) (Sería la menos eficiente, pero no mucho).

Verificaríamos como arriba que los planos son paralelos o coincidentes. Luego, debemos determinar la ecuación general del plano $\pi_2 \equiv x - 5y +2z + D=0$ , donde hemos tomado $n_{\pi_2}=n_{\pi_1}=(1,-5,2)$ porque los planos son paralelos.

Como $P(1,2,-1)\in\pi_2$

1 - 5·2 +2·(-1) + D=0 \Rightarrow D=11

entonces $\pi_2 \equiv x - 5y +2z +11=0$

d(\pi_1 , \pi_2)=\frac{\left|11-(-21)\right|}{\sqrt{1^{2}+(-5)^{2}+2^{2}}}=\\= \frac{32}{\sqrt{30}}=\frac{16\sqrt{30}}{15}

(3) Distancia de una recta a un plano.

Definición: Las distancia de una recta $r$ a un plano $\pi$ es la menor de las distancias que se puede encontrar entre un punto de $r$ y un punto de $\pi$ .

Aquí tenemos dos posibilidades, que la recta y el plano se corten o que la recta y el plano no se corten, es decir que la recta sea paralela al plano. En el primero de los casos es claro que $d(r,\pi)=0$ .

En el caso de que la recta sea paralela al plano sabemos que en el haz de planos paralelos a $\pi$ existe uno, $\pi'$ , que contiene a $r$ .

Además, sabemos que las distancias de los puntos de $\pi'$ , en particular los de la recta $r$ , al plano $\pi$ son todas iguales. Podemos entonces hacer las siguientes afirmaciones:

d(r,\pi)=d(\pi, \pi') = d(P,\pi)

donde $P$ es un punto cualquiera de $r$ o incluso de $\pi$ .

(4) Recta simétrica de una recta respecto a un plano.

Los puntos simétricos a los puntos de una recta $r$ respecto a un plano $\pi$ conformarán una recta que llamaremos simétrica respecto a $r$ . Esto nos da un método para el cálculo de esta recta simétrica;

En el caso de que la recta sea secante al plano

el punto de intersección, $Q$ , de $r$ respecto de $\pi$ es su propio simétrico por lo que una forma particular para el calculo de $r'$ esta dado por

En el caso de que $r$ sea paralela a $\pi$

la recta $r$ y su simétrica $r'$ son paralelas y sus vectores directores coinciden, por lo que en este caso tenemos la siguiente forma para determinar a $r$ :

Ejercicio

Calcula la recta simétrica a $r \equiv \frac{x-2}{-2}=\frac{y+1}{3}=z-5$ respecto del plano $\pi \equiv 2x+y-z+8=0$ . Halla además la distancia de $r$ a $\pi$ .

Solución:

Mentalmente podemos darnos cuenta que la recta y el plano son secantes. Escribimos este proceso mental solo a modo de ejemplo. Pero, en una respuesta formal no se escribiría ya que será calculado el punto de corte de $r$ y $\pi$ y eso ya justifica la posición relativa entre estos:

\overrightarrow{d_{r}}= (-2,3,1), \quad \overrightarrow{n_{\pi}}= (2,1,-1) \\ \overrightarrow{d_{r}}·\overrightarrow{n_{\pi}}=-4+3-1=-2\neq0

y es que el vector normal de un plano es perpendicular a cualquier recta contenida en el plano o paralela a este.

Calculando el punto de corte: $Q(2-2t, -1+3t,5+t)\in r\cap \pi$ si

2(2-2t)+(-1+3t)-(5+t)+8=0 \Rightarrow t=3

y tenemos a $Q(-4, 8,8)\in r\cap \pi$