Relación de Puntos y Rectas.
(1) Distancia de un Punto a una Recta
Definición: Las distancia de un punto P a una recta r es la menor de las distancias que se puede encontrar entre el punto P y cualquier punto de la recta.
Figura 1: Relación en un paralelogramos de la distancia de un punto a una recta.
Teorema: La distancia de un punto P a una recta r se alcanza en la proyección ortogonal de este punto en la recta.
El punto Q es la proyección ortogonal del punto P sobre la recta r si el segmento PQ es perpendicular a r.
La demostración del teorema es inmediata teniendo en cuenta que la hipotenusa en un triángulo rectángulo siempre es mayor que sus catetos.
El modulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo formado por estos.
Por otro lado el área de dicho paralelogramo es la longitud de uno de sus lado por la altura bajada a ese lado (base por altura).
Entonces
\left|\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{d_{r}}\right|=\left|\overrightarrow{d_{r}}\right|d\left(P,r\right)En el lado derecho de esta expresión tenemos que \left|\overrightarrow{d_{r}}\right| es la longitud de la base del paralelogramo y h=d(P,r)=d(P,Q) es la altura de este paralelogramo.
De aquí tenemos entonces una formula para el cálculo de la distancia de un punto a una recta:
Figura 3: Fórmula de la distancia de un punto a una recta.
Ejercicio Práctico
Hallar la distancia del punto P(5,-1,6) a la recta
r\equiv\left\{ \begin{array}{l}
x=1-2t\\
y=-t\\
z=5+t
\end{array}\right.y la proyección ortogonal de P sobre r.
Un ejercicio similar a este es el Problema 2 de Geometría de la EBAU Extraordinaria de 2023.
Solución: Discutimos las distintas vías de resolución del problema o partes de él.
1ra Vía) (quizás la más eficiente en caso que solo fuese pedido la distancia del punto a la recta)
Tomamos un punto cualquiera de la recta y un vector director de esta. Tomamos por ejemplo los que son visibles en su propia ecuación paramétrica: A(1,0,5) y \overrightarrow{d_{r}}=(-2,-1,1).
El vector \overrightarrow{AP}=(4,-1,1) es uno de los lados del paralelogramo y
\overrightarrow{d_r} \times \overrightarrow{AP}= \left|\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\
-2 & -1 & 1\\
4 & -1 & 1
\end{array}\right|=(0,6,6)Aplicando entonces la fórmula (figura 3) de la distancia de un punto a una recta tenemos que
d(P,r)=\frac{\left|\overrightarrow{d_{r}}\times\overrightarrow{AP}\right|}{\left|\overrightarrow{d_{r}}\right|}=\frac{\left|(0,6,6)\right|}{\left|(-2,-1.1)\right|}= \\=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=2\sqrt{3}u2da Vía) Resolviendo el problema completo.
Encontramos en primer lugar la proyección ortogonal de P en la recta r. Para ello, tomamos un punto arbitrario Q(1-2t, -t,5+t) de r. El objetivo es encontrar t \in\mathbb{R} tal que \overrightarrow{PQ}=(-4-2t,-t+1,-1+t) sea perpendicular a \overrightarrow{d_r}. Entonces
0=\overrightarrow{PQ}·\overrightarrow{d_r}=-2(-4-2t)-(-t+1)+(-1+t)=6t+6 \Rightarrow t=-1y la proyección ortogonal de P sobre r, sustituyendo el valor de t=-1, es Q(3,1,4).
La otra parte del ejercicio es encontrar la distancia de P a r, para ello:
d(P, r) = d(P,Q) = \left|\overrightarrow{PQ}\right|=\left|(2,2,-2)\right|=\sqrt{2^2 +2^2 +(-2)^2 }=2\sqrt{3}u3ra vía)
Resolviendo el problema completo. El trabajo de cálculos (algebraico) en esta vía es totalmente similar a la de la anterior, pero difiere en la interpretación geométrica.
En esta vía también encontramos en primer lugar la proyección ortogonal de P en la recta r.
Pero en esta ocasión, para ello, encontramos el plano \pi que contiene al punto P y es perpendicular a r. De esta forma el punto Q, que es intersección de r con \pi, hace que \overrightarrow{PQ} y \overrightarrow{d_r} (y por tanto \overrightarrow{PQ} y r) sean ortogonales. Siendo entonces Q el punto buscado.
Como r es perpendicular a \pi podemos tomar como vector normal de \pi a \overrightarrow{n_{\pi}}=\overrightarrow{d_{r}}=(-2,-1,1). Entonces
\pi \equiv -2(x-5)-(y+1)+(z-6)=0
Para encontrar la intersección de r con \pi tomamos un punto arbitrario Q(1-2t, -t,5+t) de r y exigimos que cumpla la ecuación normal del plano \pi:
-2(1-2t-5)-(-t+1)+(5+t-6)=0 \Rightarrow t=-1
y el punto buscado es Q(3,1,4). La otra parte del ejercicio es la misma que en la 2da vía.
(2) Simétrico de un punto respecto a una recta.
El simétrico de un punto respecto a una recta puede ser definido de varias formas equivalentes, aquí tomaremos la siguiente:
Definición: El simétrico de un punto P respecto la recta r es el punto P' que teniendo la misma proyección ortogonal que P sobre r, ambos equidistan de r.
Como ambos tienen la misma proyección ortogonal Q, estos tres puntos, P, P' y Q, deben estar alineados en una recta perpendicular a r. Más aún, Q debe ser el punto medio del segmento PP', o lo que es lo mismo, P' es el punto simétrico de P respecto a Q.
Ejercicio Práctico
Hallar el simétrico del punto P(5,-1,6) a la recta
r\equiv\left\{ \begin{array}{l}
x=1-2t\\
y=-t\\
z=5+t
\end{array}\right.Solución:
1) Ya tenemos del apartado anterior que la proyección ortogonal del punto P sobre r es el punto Q(3,1,4). Entonces aquí solo falta
2) encontrar el simétrico de P respecto de Q. Sea P'(x,y,z) el punto buscado, entonces Q es el punto medio del segmento PP'
Q\left(\frac{x+5}{2},\frac{y-1}{2},\frac{z+6}{2}\right) = Q(3,1,4)\quad \Rightarrow \quad \frac{x+5}{2}=3;\frac{y-1}{2}=1;\frac{z+6}{2}=4 \quad \Rightarrow \\ \Rightarrow \quad x=1; y=3; z=2Entonces el punto buscado es P'(1,3,2).