Relación de Puntos y Planos.

(1) Distancia de un Punto a un Plano

Definición: Las distancia de un punto P a un plano \pi es la menor de las distancias que se puede encontrar entre el punto P y cualquier punto del plano.

Teorema: La distancia de un punto P a un plano \pi se alcanza en la proyección ortogonal de este punto sobre el plano.

El punto Q es la proyección ortogonal del punto P sobre el plano \pi si el segmento PQ es perpendicular a \pi.

La demostración del teorema es inmediata teniendo en cuenta que la hipotenusa en un triángulo rectángulo siempre es mayor que sus catetos. Entonces:

d(P, \pi)=d(P,Q)

(2) Fórmula para la distancia de un Punto al Plano

Partimos de la ecuación general del plano \pi \equiv Ax+By+Cz+D=0, de las coordenadas del punto P(x_0, y_0, z_0) y de las de su proyección ortogonal en \pi, Q(x_1, y_1,z_1).

Teniendo en cuenta que \overrightarrow{QP}=(x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1) y \overrightarrow{n_{\pi}}=(A,B,C) tienen la misma dirección, el producto de sus módulos coincide con el valor absoluto de su producto escalar. En efecto, el ángulo \alpha que forman estos vectores es de 0º o 180º y \left|cos\alpha\right|=1. Luego, \left|\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{n_{\pi}}\right|=\left|\overrightarrow{QP}\right| \left|\overrightarrow{n_{\pi}}\right| \left|cos(\alpha)\right|, de donde

{\color{blue}d(P,\pi)}=\left|\overrightarrow{QP}\right|=\frac{\left|\overrightarrow{QP}\right|\left|\overrightarrow{n_{\pi}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_{\pi}}\right|}={\color{blue}\frac{\left|\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{n_{\pi}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_{\pi}}\right|}}

Por otro lado, como Q\in \pi, se cumple que

Ax_1 +By_1+Cz_1 + D =0  \quad \Rightarrow \\ 
D=-Ax_1-By_1-Cz_1

y que el producto escalar

\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{n_{\pi}} =A(x_0 - x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)= \qquad \\
\quad =Ax_0 +By_0+Cz_0 -Ax_1 -By_1-Cz_1 =  \\
= Ax_0 +By_0+Cz_0+D \qquad \qquad \qquad

de donde obtenemos la fórmula principal para el cálculo de esta distancia

Ejercicio

Hallar la distancia del punto P(1,2,3) al plano \pi \equiv 2x+3y-z=-7 y la proyección ortogonal de P(1,2,3) en \pi.

Solución: Discutimos las distintas vías de resolución del problema o partes de él.

1ra Vía) (Sería la más eficiente en caso que solo fuese pedido la distancia del punto al plano).

{\color{blue}d(P,\pi)}={\color{blue}\frac{\left| {\color{blue}{\color{blue}2}}\cdot{\color{brown}1}+{\color{blue}3}\cdot{\color{brown}2}{\color{blue}-1}\cdot{\color{brown}3}+{\color{blue}7}\right|}{\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-1)^{2}} }}= \\ =\frac{12}{\sqrt{14}}=\frac{6\sqrt{14}}{7}

2da Vía) Resolviendo el problema completo.

Encontramos en primer lugar la proyección ortogonal de P en el plano \pi. Lo haremos determinando la intersección del plano \pi y la recta, r, que pasa por P y es perpendicular a \pi. Entonces, \overrightarrow{d_r}=\overrightarrow{n_{\pi}}=(2,3,-1) y

r\equiv\left\{ \begin{array}{l}
x=1+2t\\
y=2+3t\\
z=3-t
\end{array}\right.

Tomamos ahora un punto arbitrario Q(1+2t, 2+3t,3-t) de r y exigimos que también este en \pi. Para ello, sustituimos las coordenadas de Q en la ecuación general de \pi:

2(1+2t)+3(2+3t)-(3-t)=-7 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{-6}{7}

Sustituyendo el valor de t=\frac{-6}{7}, obtenemos que la proyección ortogonal de P sobre \pi es Q\left(\frac{-5}{7},\frac{-4}{7},\frac{27}{7}\right).

La otra parte del ejercicio es encontrar la distancia de P a \pi, para ello:

d(P,\pi)=\left|\overrightarrow{QP}\right|=\left|\left(\frac{12}{7},\frac{18}{7},\frac{-6}{7}\right)\right|=\frac{6\sqrt{14}}{7}u

(3) Simétrico de un punto respecto a un plano.

Definición: El simétrico de un punto P respecto al plano \pi es el punto P' que teniendo la misma proyección ortogonal que P sobre \pi, ambos equidistan de \pi

Como ambos tienen la misma proyección ortogonal Q, estos tres puntos, P, P' y Q, deben estar alineados en una recta perpendicular a \pi. Más aún, Q debe ser el punto medio del segmento PP', o lo que es lo mismo, P' es el punto simétrico de P respecto a Q.

Ejercicio

Hallar el simétrico del punto P(1,2,3) respecto al plano \pi \equiv 2x+3y-z=-7

Solución

1) Ya tenemos del apartado anterior que la proyección ortogonal del punto P sobre \pi es el punto Q\left(\frac{-5}{7},\frac{-4}{7},\frac{27}{7}\right). Entonces aquí solo falta

2) encontrar el simétrico de P respecto de Q. Sea P'(x,y,z) el punto buscado, entonces Q es el punto medio del segmento PP'

Q\left(\frac{x+1}{2},\frac{y+2}{2},\frac{z+3}{2}\right) = Q\left(\frac{-5}{7},\frac{-4}{7},\frac{27}{7}\right) \\ \quad \\ \Rightarrow \quad \frac{x+1}{2}=\frac{-5}{7};\frac{y-1}{2}=\frac{-4}{7};\frac{z+3}{2}=\frac{27}{7}  \\ \quad \\ \Rightarrow \quad x=\frac{-17}{7}; y=\frac{-22}{7}; z=\frac{33}{7} \qquad \qquad

Entonces el punto buscado es P'\left(\frac{-17}{7},\frac{-22}{7},\frac{33}{7}\right).