Ordinaria 2022.
Problema 1 de Geometría.
| a) Dada la recta r\equiv\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{4} y el plano \pi\equiv2x+y+mz=0, calcule m para que la recta y el plano sean perpendiculares. (1 punto) b) Calcule el plano perpendicular a los planos \pi\equiv x+y+z=1 y \pi_{1}\equiv x-y+z=2, que pasa por el punto (1,2,3). |
Solución:
a) Si la recta es perpendicular al plano su vector director, \overrightarrow{d_{r}}=(2, 1,4) debe tener la misma dirección que el vector normal al plano, \overrightarrow{n_{\pi}}=(2,1,m). (Equivalentemente, estos vectores deben ser proporcionales, linealmente dependientes)
\frac{2}{2}=\frac{1}{1}=\frac{4}{m}\Rightarrow m=4 \qquad\left[rg\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 4\\
2 & 1 & m
\end{array}\right)=1\Leftrightarrow m=4\right]
b) Sea \sigma el plano buscado. Sabemos que dos planos son perpendiculares si lo son sus vectores normales. Entonces el vector normal a \sigma, \overrightarrow{n_{\sigma}}, es ortogonal a \overrightarrow{n_{\pi}}=(1,1,1) y a \overrightarrow{n_{\pi_1}}=(1,-1,1) que son vectores normales a \pi y \pi_1, respectivamente. Luego podemos tomar:
\overrightarrow{n_{\sigma}}=\overrightarrow{n_{\pi}}\times\overrightarrow{n_{\pi_{1}}}=\left|\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\
1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1
\end{array}\right|=(2,0,-2)
Observación: El plano \sigma tambien es perpendicular a la recta intersección de \pi y \pi_1.
Como el plano \sigma pasa por el punto P(1,2,3) entonces
Ecuación Normal:
2(x-1)-2(z-3)=0
Ecuación General:
2x-2z+4=0
Problema 2 de Geometría.
| Considere el punto P(2,2,1) y el plano \pi\equiv2x+3y-3z+6=0. a) Halle la recta que pasa por P y es perpendicular a \pi. (1 punto) b) Calcule la distancia del punto Q(2,2,-2) al plano \pi. (1 punto) |
Solución:
a) Como la recta buscada es perpendicular al plano , su vector director debe tener la misma dirección que un vector normal al plano \pi, \overrightarrow{n_{\pi}}=(2,3,-3). Entonces
P(2,2,1)\in r, \overrightarrow{d_r}=(2,3,-3) \qquad r \equiv \frac{x−1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{4}es la Ecuación Continua de la recta.
b) Para calcular la distancia del punto Q(2,2,-2) al plano \pi utilizaremos la relación conocida para ello
d(Q,\pi)=\frac{\left|2·2+3·2-3(-2)+6\right|}{\left|\overrightarrow{n_{\pi}}\right|}=\frac{22}{\sqrt{22}}=\sqrt{22}donde \left|\overrightarrow{n_{\pi}}\right|=\sqrt{2^2+3^2+(-3)^2}=\sqrt{22}
Sobre la fórmula utilizada
Dado el punto Q(x_0,y_0,z_0) y la ecuación general del plano \pi \equiv Ax+By+Cz+D=0 la distancia viene dada por:
d(Q,\pi)=\frac{\left|Ax_0+By_0+Cz_0+D\right|}{\left|\overrightarrow{n_{\pi}}\right|}