Conoce el Teorema de Pitágoras. Descubre lo increíble.
Una de las técnicas muy importantes a la hora de enfrentarse a la resolución de problemas es tratar de encontrar :
Analogía o semejanza con otros problemas.
En esta entrada no solo damos una demostración del teorema de Pitágoras, sino que queremos ver la importancia de esta técnica.
Teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras afirma que un triángulo rectángulo, esto es que tiene un ángulo recto o de 90º, el cuadrado de la hipotenusa, que es el lado mayor, es la suma de los cuadrados de los catetos, los otros dos lados:
Ya desde el antiguo Egipto y Babilonia sapiens tenia constancia de muchas verdades matemáticas (leer la serie: “Caminando entre las Matemáticas”). Pero un importante punto de inflexión tuvo lugar con los filósofos Tales de Mileto (625-547 a.C) y Pitágoras de Samos (572-497 a.C) cuando empezaron a introducir la idea de demostración matemática.
a^2 + b^2 = c^2
Geométricamente el teorema significa que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo (cuadrado rosa) coincide con la suma de las áreas de los cuadrado construidos sobre los catetos (cuadrados purpuras).
Demostración del Teorema por áreas (y semejanza)
Demostraremos aquí el teorema usando precisamente la idea geométrica anterior y nos apoyaremos en el siguiente applet de Geogebra.
La altura bajada, desde el vértice C, divide el cuadrado apoyado sobre la hipotenusa, c, en dos rectángulos. Estos rectángulos se ven en el applet de distintos colores. Estos colores coinciden con el color del cuadrado que queda a su lado con respecto a la altura.
¿Qué pasa con el área de cada uno de estos rectángulos? Pues que cada una de ellas coincide con el área del cuadrado que queda a su lado.
Primero: Los triángulos △FAB y △CAK son congruentes, △FAB ≡ △CAK (iguales)
Puedes verlo en el “applet” moviendo el cursor \beta desde 0 a 90. Pero, para argumentarlo podemos hacerlo por cualquiera de las siguientes vías:
1) El triángulo △CAK se obtiene del triángulo △FAB a partir de una rotación con centro A y un ángulo de 90º. Observemos que con esta rotación, el segmento AF se transforma en el segmentos AC. Porque estos son dos lados del cuadrado AFGC, con ángulos de 90º.
De forma análoga, el segmento AB se transforma en el segmentos AK a partir de esta rotación. Y, el ángulo ∠FAB se transforma en el ángulo ∠CAK.
2) Los lados AF y AC de los respectivos triángulos, △FAB y △CAK, son iguales. Ambos son lados de un mismo cuadrado.
De forma análoga, los lados AB y AC de los triángulos △FAB y △CAK respectivamente, también son iguales. Los ángulos ∠FAB y ∠CAK son iguales por tener ambos la amplitud (∠A + 90º). Luego por el criterio LAL los triángulos, △FAB y △CAK son congruentes.
Segundo: El área del cuadrado AFGC es el doble del área de los triángulos △FAB y △CAK.
[△FAB]=\frac{AF·BN}{2} = \frac{AF·AC}{2} = \frac{b^2}{2} =\frac{[AFGC]}{2}Denotamos el área de un polígono (triángulo, rectángulo etc.) escribiéndolo entre corchetes.
Tercero: El área del rectángulo AMLK coincide con el área del cuadrado AFGC
El área del rectángulo AMLK es el doble del área del triángulo △CAK y del triángulo △FAB.
[△CAK]=\frac{AK·CO}{2} = \frac{AM·AK}{2} =\frac{[AMLK]}{2}Como las áreas de los triángulos △FAB y △CAK son iguales entonces las áreas del cuadrado AFGC y del rectángulo AKLM son iguales.
Por último: De forma análoga se demuestra la igualdad de las áreas del cuadrado CBIH y el rectángulo BMLJ. Obteniendo la demostración del teorema.
Demostración por semejanza
Partimos del triángulo \triangle ABC rectángulo en el vértice C (el ángulo \angle \hat{C} es recto).
Y construimos la perpendicular bajada al lado AB que pasa por C (altura bajada al lado AB), siendo M la intersección de la perpendicular con el lado (pie de la altura).
Observación importante: El triángulo \triangle ABC queda dividido en otros dos triángulos más pequeños, los triángulos \triangle AMC y \triangle BMC y ambos, con sendos ángulos rectos en M, son semejantes al triángulo \triangle ABC .
Primero: los triángulos \triangle ABC y \triangle BMC tienen:
- 1) un ángulo en común: \angle \hat{B}
- 2) otro ángulo recto cada uno: el ángulo \angle \hat{C} y el ángulo \angle CMB respectivamente.
y la semejanza sigue por el criterio “ángulo – ángulo”. Entonces:
{\color{blue}\frac{a}{c}=\frac{BM}{a}}=\frac{h}{b} \qquad (I)
Análogamente los triángulos \triangle ABC y \triangle AMC son rectángulos y tienen en común el ángulo \angle \hat{A} . Por lo que son semejantes y se cumple que:
{\color{blue}\frac{b}{c}=\frac{AM}{a}}=\frac{h}{a} \qquad (II)De las proporciones (I) y (II) tenemos respectivamente que
{\color{blue}a^{2}=c·BM\qquad b^{2}=c·AM} \qquad \Rightarrow \qquad a^2 +b^2 = c·(BM+AM)=c^2Un Reto.
Problema: Si se construyen tres triángulos equiláteros ∆BCA′, ∆CAB′ y ∆ABC′ a partir de los lados de un triángulo cualquiera ∆ABC, todos al exterior.
Demostrar que los segmentos rectilíneos AA′ , BB′ y CC′, son iguales, forman entre si ángulos de 60 º y concurren en un mismo punto P.
[…] Aunque, en algo en lo que si podemos estar todos de acuerdo es en que el concepto que tenemos sobre lo que son las matemáticas ha evolucionado con el conocimiento que tenemos de ella misma, aunque eso sí, el primer punto de inflexión en este sentido y quizás el más importante ocurrió hace unos 2700 años aproximadamente, cuando los filósofos griegos, como Tales de Mileto o Pitágoras de Samos empezaron a concebir la idea de demostración matemática. <Ver una demostración del Teorema de Pitágoras>. […]
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