Celebrada en Valladolid: ¡Resolviendo la Olimpiada!

Sea x = 1+\sqrt[3]{2} . Prueba que existen impares a, b, c tales que:

x^{2023} = ax^2 +bx+c 

Solución:

Comprobemos que \forall n\geq 3 existen a, b, c enteros tales que

x^n= ax^2 +bx+c 

y que para n \equiv 3 mod(4) estos son impares.

Procedemos por inducción. Comprobación para k = 1 , n = 4k-1 = 3 \equiv 3 mod(4) . Calculando desarrollos binomiales (Binomio de Newton) y agrupando convenientemente tenemos

x^3  = (1+\sqrt[3]{2})^3 = 3 + 3\sqrt[3]{2} + 3 \sqrt[3]{4} =3x+3 \sqrt[3]{4} 

Pero

\\ \quad \\
 \sqrt[3]{4} = (x - 1)^2 = 1 -2x+x^2 \Rightarrow \\ \quad \\
x^3 = 3x + 3(x-1)^2=3x^2-3x+3

donde a= 3, b=-3, c=3 son enteros e impares. Supongamos ahora la propiedad cierta para k, n = 4k - 1 y demostrémosla para n= k+1 . Pero antes observemos que

x^4 = x·x^3=3x^3-3x^2+3x= \qquad  \qquad  \qquad \\ \qquad \\ =3(3x^2-3x+3) -3x^2+3x =6x^2 -6x+9

Multiplicando por x en

x^{4k+3} = x^4·x^{4k-1}=(6x^2 -6x+9)(ax^2 + bx + c) = \\ \quad \\
=3ax^4 + (3b-3a)x^3 + (3a - 3b +3c)x^2 + \quad  \quad  \quad  \\ \quad  \\  \quad  \quad  \quad  \quad  \quad  \quad  \quad  \quad  \quad  \quad  \quad  \quad  + (3b - 3c)x + 3c 

sustituyendo x^4 y x^3 por las expresiones correspondientes y agrupando adecuadamente, nos queda

x^{4k+3} = (12a+6b+3c)x^2 - (9a+6b)x +(9a+9b+3c) \\ \quad 

entonces, estos coeficientes son enteros y además

12a+6b+3c \equiv 3c \, mod(2) \equiv 1\,mod(2) \qquad 
\\ \quad \\
9a+6b \equiv 9a \, mod(2) \equiv 1\,mod(2) \qquad \qquad 
\\ \quad \\
9a+9b+3c  \equiv 1+1+1 \, mod(2) \equiv 1\,mod(2)

por lo que son también impares.

 \quad

Para terminar observemos que

2023 \equiv 3 \, mod(4)

FIN.

Sea \triangle ABC un triángulo acutángulo con AB > AC . La mediatriz de BC corta el lado AB y a la prolongación del lado AC en los puntos P y Q respectivamente. Prueba que las circunferencias circunscritas a los triángulos \triangle ABQ y \triangle ACP tienen un punto común en la recta PQ .

Solución 1:

Basta probar por ejemplo que el punto de corte de la circunferencia circunscrita al triángulo \triangle ABQ corta a la mediatriz PQ en un punto, que llamaremos F , que también está en la circunferencia circunscrita al triángulo \triangle ACP .

Para probar que F está en la circunferencia circunscrita al triángulo \triangle ACP basta que demostremos que los ángulos \angle APC y \angle AFC son iguales.

Como el punto Q está en la mediatriz del lado BC (Figura 3), el triángulo \triangle BCQ es isósceles y \angle QBC = \angle QCB = \gamma . Además \angle ABQ = \gamma - \beta .

Por otro lado, los ángulos \angle ABQ y \angle AFQ (Figura 4) están inscritos sobre el mismo arco AQ , luego son iguales. Concluimos entonces que \angle AFC = \gamma - \beta .

Por último observemos que el punto P también está sobre la mediatriz del lado BC (Figura 3), el triángulo \triangle BCP es isósceles y \angle PCB = \angle PBC = \beta . Entonces, \angle ACB = \gamma - \beta . Quedando así demostrada la igualdad de estos dos ángulos.

Solución 2:

Basta probar que el cuadrilátero APFC es un cuadrilátero cíclico. Esto es, probar que la suma de un par de ángulos opuestos es de 180º (O probando que ángulos como los de la solución 1 son iguales).

Los enteros positivos x e y son tales que 3x+4y y 4x + 3y son cuadrados perfectos. Demuestra que x e y son múltiplos de 7.

Solución:

3x + 4y =u^2 \\
4x + 3y =v^2

7x + 7y =7(x+y)= u^2 + v^2

Entonces 7|(u^2 + v^2) o equivalentemente u^2 + v^2 \equiv 0 \, mod(7) .

a^2 \equiv b \, mod(7)

u^2 \equiv b_1 \, mod(7) \\
v^2 \equiv b_2 \, mod(7) 

Entonces

u^2 + v^2 \equiv b_1 + b_2 \, mod(7) \\ \qquad \\ b_1+b_2 \in \{0,1,2,4,3,5,6\}

Pero como u^2 + v^2 \equiv 0 \, mod(7) entonces

b_1 + b_2 = 0 \Rightarrow b_1 = b_2 = 0

luego 7|u^2 y 7|v^2 de donde u = 7u_1 y v=7v_1 , con u_1, v_1 enteros.

7(x+y)= u^2 + v^2 = 7^2(u^2_1 + v^2_1) \Rightarrow \\ \quad \\
x+y = 7(u^2_1 + v^2_1)  \Rightarrow 7|(x+y)

Para terminar

\left.\begin{array}{r} 4x+3y \equiv 0 \,mod(7) 
\\ 3x + 4y \equiv 0\,mod(7)
\\
\end{array}\right\}  \Rightarrow  \qquad\qquad \qquad \\ \quad \\ \qquad \qquad \qquad \qquad x - y \equiv 0\,mod(7)

\left.\begin{array}{r} x + y \equiv 0\,mod(7) 
\\ x - y \equiv 0\,mod(7)
\\
\end{array}\right\}  \Rightarrow  \qquad\qquad \qquad \\ \quad \\ \qquad \qquad \qquad \qquad 
\left.\begin{array}{r} 2x \equiv 0\,mod(7) 
\\ 2y \equiv 0\,mod(7)
\\
\end{array}\right\}

y como m.c.d(2, 7) = 1 entonces x \equiv 0\,mod(7) e y \equiv 0\,mod(7) .