Aprender Trigonometría y No Morir en el Intento.
Antes de Empezar
En la serie de entradas “Caminando Entre las Matemáticas…” enfatizamos como ha evolucionado nuestros conocimiento sobre las matemáticas. En particular, la trigonometría es una de sus ramas en las que las ideas y conceptos han evolucionado a lo largo del tiempo. Han formado parte a su vez de otras estructuras, objetos e ideas matemáticas más complejas y de enorme aplicabilidad tanto en las propias matemáticas como en las ciencias y la tecnología en general.
El Papiro de Rhind fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en el año 1650 a.c a partir de escritos de 200 años de antigüedad. Este está formado por una lista de 87 problemas matemáticos (puedes leer más sobre esto aquí). Pero en esta entrada estamos interesados en los problemas 56 y 60 en los que se requieren el cálculo de lo que hoy llamamos “cotangente“, una de las razones trigonométricas básicas, y que ellos llamaron “seqt”.
En la entrada ¿Qué Hay Que Saber del Número π?… trabajamos con el problema 50 (Papiro de Rhind).
Problema 56: ¿Cuál es el seqt de una pirámide de 250 cubits de altura y 360 cubits de lado en la base?
Para los egipcios, teniendo en cuenta este problema, el “seqt” les permitía acceder al concepto de inclinación. ¿Cuán inclinada están las caras de esta pirámide?. Cuanto menos “seqt” tenga una pirámide más inclinada está esta.
1. Las Razones Trigonométricas
1.1 Semejanza de Triángulos
En la serie de entradas hemos discutido sobre la figura geométrica más “básica” en el plano, a ser: “el triángulo”. Discutimos, partiendo de nuestras percepciones del “mundo físico real“, sobre cuando dos triángulos son iguales y cuando dos triángulos son semejantes. Este último concepto es primordial para el desarrollo de la trigonometría.
Definición: Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus respectivos lados proporcionales:
\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}
Las razones de estas proporciones están formadas con lados opuestos a ángulos respectivamente iguales. Pero para nuestro propósito aquí mencionemos un teorema:
Teorema: (Criterio de semejanza AA) Dos triángulos son semejantes si y solo si tienen dos ángulos respectivamente iguales.
1.2 Razones Trigonométricas “básicas”
Si nos limitamos a triángulos rectángulos, todos los que tengan otro ángulo igual ya son semejantes y sus lados son respectivamente proporcionales.
Más aún, las razones formadas con los lados de uno de estos triángulos no dependen del triángulo elegido.
\frac{a}{a'} = \frac{c}{c'} \Rightarrow
\textcolor{darkorange}{\frac{a}{c}} = \textcolor{green}{\frac{a'}{c'}}Es decir, estas razones dependen únicamente de la amplitud de ese otro ángulo fijado.
Entonces a estas razones que dependen únicamente de ese otro ángulo les llamamos razones trigonométricas, dándoles nombres específicos a cada una de las que podemos formar:
\textcolor{darkorange}{sen(\alpha) = \frac{cateto \,\, opuesto}{hipotenusa}} =\frac{a}{c} = \frac{a'}{c'} \\ \qquad \\
\textcolor{darkorange}{cos(\alpha) = \frac{cateto \,\, contiguo}{hipotenusa}} = \frac{b}{c} = \frac{b'}{c'} \\ \qquad \\
\textcolor{darkorange}{tg(\alpha) = \frac{cateto \,\, opuesto}{cateto \,\, contiguo}} = \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}\quad
Limitarnos a triángulos rectángulos puede que se deba a problemas de inclinación o problemas similares que originalmente surgieron. Lo que si es cierto, es que trabajar con triángulos rectángulos dotan a las razones trigonométricas de propiedades muy potentes.
1.3 Otras razones trigonométricas
2. Propiedades Importantes de las razones trigonométricas
Definir las razones trigonométricas a partir de triángulos rectángulo nos permite obtener una primera propiedad que es llamada «Identidad Fundamental Trigonométrica». Aunque también le podríamos llamar «Teorema Trigonométrico de Pitágoras» porque en esencia es este teorema expresado a partir de razones trigonométricas.
a^2 + b^2 = c^2 \Rightarrow \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} \Rightarrow
\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1 
de donde obtenemos la Identidad Fundamental Trigonométrica:
\textcolor{darkorange}{(1) \qquad sen^2(\alpha)+cos^2(\alpha) = 1} Indicaremos otras dos propiedades que consideramos importantes
tg(\alpha) = \frac{a}{b} =\frac{a/c }{b/c} = \frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}
\textcolor{darkorange}{(2) \qquad tg(\alpha)= \frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}} 
