Aprender Trigonometría y No Morir en el Intento.

El Papiro de Rhind fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en el año 1650 a.c, a partir de otros escritos que ya en esa época contaban con 200 años de antigüedad. Este papiro está formado por una lista de 87 problemas matemáticos (puedes leer más sobre esto aquí). Sin embargo, en esta entrada nos centraremos en los problemas 56 y 60, donde se aborda el cálculo de lo que hoy conocemos como “cotangente”, una de las razones trigonométricas fundamentales, denominada en aquel entonces como “seqt”..

_{En la entrada ¿Qué Hay Que Saber del Número π?… trabajamos con el problema 50 (Papiro de Rhind).}

Problema 56: ¿Cuál es el seqt de una pirámide de 250 cubits de altura y 360 cubits de lado en la base?

Para los egipcios, teniendo en cuenta este problema, el “seqt” les permitía acceder al concepto de inclinación. ¿Cuán inclinada están las caras de esta pirámide?. Cuanto menos “seqt” tenga una pirámide más inclinada está esta.

En la serie de entradas hemos discutido sobre la figura geométrica más “básica” en el plano, a ser: “el triángulo”. Discutimos, partiendo de nuestras percepciones del “mundo físico real“, sobre cuando dos triángulos son iguales y cuando dos triángulos son semejantes. Este último concepto es primordial para el desarrollo de la trigonometría.

Definición: Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus respectivos lados proporcionales:

\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}

Si nos limitamos a triángulos rectángulos, todos los que tengan, además del ángulo recto, otro de sus ángulos agudos iguales, ya son semejantes y en consecuencia sus lados respectivamente proporcionales.

Más aún, las razones que podemos formar con los lados de uno de estos triángulos no dependen del triángulo elegido.

\frac{a}{a'} = \frac{c}{c'} \Rightarrow 
\textcolor{darkorange}{\frac{a}{c}} = \textcolor{green}{\frac{a'}{c'}}

En otras palabras, estas razones dependen únicamente de la amplitud del ángulo agudo fijado.

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Ejercicio 1: Calcula las razones trigonométricas de 50º.

La solución la puedes encontrar en el applet anterior hecho con Geogebra. Para ello, se ha construido un triángulo rectángulo y con ángulo de 50º. Se han medido las longitudes de sus lados. Y se han calculado las razones trigonométricas.

Ejercicio 2: Calcular las razones trigonométricas de 45º.

La solución en este caso la obtendremos a partir del razonamiento matemático.

Solución: Un triángulo rectángulo que tenga un ángulo agudo de 45º, necesariamente tendrá su otro ángulo agudo también de 45º. Recordemos que los ángulos interiores de un triángulo suman 180º. Entonces este triángulo será isósceles y sus catetos tendrán la misma longitud. Por el Teorema de Pitágoras

x^2 =a^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow x= \sqrt{2a^{2}} = a\sqrt{2}

Ver el siguiente applet.

Sol: La solución pasa por una pequeña pero ingeniosa idea. Y es la de dividir el ángulo recto en ángulos de 30º y 60º respectivamente.

Esto conlleva a que uno de los triángulos formados sea isósceles, tiene dos ángulos iguales (de 30º cada uno). Por tanto, los lados opuestos a estos ángulos son iguales y a su longitud le hemos llamado a. Por otro lado, el otro triángulo resultante es equilátero, ya que sus tres ángulos miden 60º, lo que implica que todos sus lados son iguales.

En conclusión, nuestro triángulo rectángulo tiene un cateto que mide a, el opuesto al ángulo de 30º, y la hipotenusa que mide 2a. El otro cateto puede ser calculado por el Teorema de Pitágoras:

(2a)^2 = a^2 + x^2 \Rightarrow x^2 =3a^2 \Rightarrow x=a\sqrt{3}

Entonces las razones buscadas son:

sen(30º)=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2} \qquad cos(60º)=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}

sen(60º)=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2} \qquad cos(30º)=\frac{\sqrt{3}}{2}

tg(30º)= \frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \qquad tg(60º)=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}

La llamada «Identidad Fundamental Trigonométrica» es la primera propiedad que podemos obtener. Es una relación majestuosa obtenida de uno de los teoremas más históricos e importantes. Esta relación es, sencillamente, el Teorema de Pitágoras escrito a partir de las razones trigonométricas. Y esta sería razón suficiente para llamarle «Teorema Trigonométrico de Pitágoras».

Si en la relación del Teorema de Pitágoras dividimos todos los términos por el cuadrado de la hipotenusa, obtenemos:

Otra relación importante y fácil de obtener asocia las tres razones trigonométricas. Si en la razón de la tangente dividimos el numerador y el denominador por la hipotenusa, obtenemos

1) Conociendo que cos(\alpha)=0.6, calcula las razones seno y tangente de este ángulo.

sen^2(\alpha)+(0.6)^2 =1 \Rightarrow \\ \, \\  sen^2(\alpha) =1-0.36 =0.64  
\Rightarrow \\ \, \\  sen(\alpha) = \sqrt{0.64}=0.8

tg(\alpha)=\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}=\frac{0.8}{0.6} = \frac{8}{6}=\frac{4}{3}

2) Conociendo que tg(\alpha)=\frac{\sqrt{5}}{2}, calcula las razones seno y coseno de este ángulo.

1+ (\frac{\sqrt5}{2})^2 =\frac{1}{cos^2(\alpha)} \Rightarrow \\ \, \\  \frac{9}{4} =\frac{1}{cos^2(\alpha)}   
\Rightarrow \,  \frac{4}{9}= cos^2(\alpha) \Rightarrow \\ \, \\ cos(\alpha)=\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}

\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{sen(\alpha)}{2/3} \, \Rightarrow \,  sen(\alpha)=\frac{2}{3} \frac{\sqrt{5}}{2} =\frac{\sqrt{5}}{3}