¿Grados, de donde vienen?

La división del círculo en 360º tiene raíces históricas y astronómicas, atribuibles a antiguas civilizaciones como los sumerios y babilonios. Por un lado, estas culturas utilizaban un sistema de numeración sexagesimal (base 60), altamente práctico para divisiones y cálculos. Por otro lado, su conocimiento astronómico les permitió estimar con notable precisión el tiempo que la Tierra tarda en orbitar alrededor del Sol. Así, la elección de 360 = 60 · 6 puede haber surgido como el múltiplo más cercano al total de días del año, facilitando su aplicación en astronomía y geometría.

Transportador de ángulo.

En resumen, estas antiguas civilizaciones y otras tuvieron sus razones para dividir el circulo en 360 partes a las que llamaron grados. Pero, este no deja ser un número algo arbitrario. Y en realidad, no hay razón matemática para fijar un número concreto en el que particionar la circunferencia. Al fin y al cabo, el movimiento del sol y los planetas es más errático del que usualmente imaginamos.

Otro enfoque, otro sistema:

Podemos basarnos en este razonamiento para introducir un sistema de medición de ángulos que resulte más “natural” en este sentido. No dividiremos la circunferencia en partes. En su lugar, diremos que:

La amplitud de un ángulo “se corresponde con“ la longitud del arco en la circunferencia unitaria en la que él es un ángulo central.

La longitud de toda la circunferencia de radio r viene dada por L_r=2\pi r. (ver: ¿Quién es \pi?). En el caso de una circunferencia unitaria es simplemente L_1=2\pi. Por tanto, la longitud del arco que un ángulo de amplitud \alphaº grado determina en la circunferencia unitaria viene dado por:

\alpha_{rad}=2\pi \frac{\alphaº}{360º}= \frac{\alphaº}{180º} \pi

en este caso, diremos que esta es la medida del ángulo en radianes.

Destaquemos que la unidad de medida de la amplitud de un ángulo no es en unidades de longitud, como si es el caso de la longitud de un arco de circunferencia. Por eso hemos utilizado antes la palabra “corresponde” y no la palabra “es“.

Este enfoque cobra especial relevancia en el Análisis Matemático y el Cálculo, ramas de las matemáticas dedicadas al estudio de las funciones y sus propiedades. Aquí, este sistema se demuestra especialmente útil y conveniente sobre todo al definir y estudiar las funciones trigonométricas.

Tabla con los ángulos notables en grado y radianes:

Has click aquí para ver la conversión de grados a radianes y viceversa
\alpha_{rad}=\frac{\alphaº}{180º}\pi=\frac{15º}{180º}\pi = \frac{\pi}{12} \\ \, \\
\alphaº=\frac{\alpha_{rad}}{\pi}180º=\frac{\pi/12}{\pi}180º = \\=\frac{180º}{12}=15º
\alpha_{rad}=\frac{\alphaº}{180º}\pi=\frac{60º}{180º}\pi = \frac{\pi}{3} \\ \, \\
\alphaº=\frac{\alpha_{rad}}{\pi}180º=\frac{\pi/3}{\pi}180º = \\=\frac{180º}{3}=60º
\alpha_{rad}=\frac{\alphaº}{180º}\pi=\frac{150º}{180º}\pi = \frac{5\pi}{6} \\ \, \\
\alphaº=\frac{\alpha_{rad}}{\pi}180º=\frac{5\pi/6}{\pi}180º = \\ \qquad=\frac{5·180º}{6}=150º
Otra definición, algo más rigurosa:

Basándonos en la semejanza de todas las circunferencias y por tanto en la de los arcos que determina un ángulo central fijo en las circunferencias concéntricas, tenemos que la razón:

\alpha = \frac{l_{arc}}{r}

es independiente y permanece constante para todas esta circunferencia. Es decir, esta razón solo depende del ángulo que la determina y la podemos tomar como medida adimensional (sin unidad de medida) de este.

Resumiendo, la razón \frac{l_{arc}}{r}:

  • No depende de la circunferencia elegida, es decir, de su radio.
  • Es adimensional, es decir, no tiene unidades de medida. Las unidades de longitud cancelan en la razón.
  • En la circunferencia de radio r=1u, siendo u la unidad de longitud, tenemos que \alpha\equiv l_{arc}. Como habíamos definido en el apartado anterior.
  • Podemos tomar \alpha = \frac{l_{arc}}{r} como medida adimensional del ángulo.

Observemos que en el caso particular de un ángulo central en el que se cumple que l_r=l_{arc}=r, la razón correspondiente es: \frac{l_1}{r}=1. Por razones obvias, a este ángulo central le llamamos radián, de radio, y lo denotamos por rad.

Entonces, podemos tomar este ángulo como patrón y comparar la amplitud de cualquier otro ángulo con él, comparando las razones que los determinan: 

\alpha_{rad} = \frac{l_{arc}/r}{l_1/r} \,rad =\frac{l_{arc}}{r} \, rad
\alpha_{rad} = \frac{l_{arc}}{r} \, rad

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