Breve introducción.
En la antigua Grecia la aritmética y el álgebra estaban muy ligadas a la geometría, ya que los griegos concebían los números principalmente a través de proporciones y longitudes. En “Los números reales…” exploramos cómo intentaron expresar las razones entre segmentos mediante razones de números enteros, encontrándose con la imposibilidad de hacerlo en ciertos casos, como en la diagonal de un cuadrado en relación con su lado. Este descubrimiento llevó al concepto de números irracionales.
Además, es importante señalar que la notación algebraica moderna, tal como la conocemos hoy, no se desarrolló hasta los siglos XVI y XVII, lo que limitaba las herramientas simbólicas disponibles para los matemáticos griegos.
En esta entrada, utilizaremos el álgebra moderna para demostrar, de manera geométrica y siguiendo el enfoque clásico de la Antigua Grecia, algunas identidades algebraicas fundamentales: el cuadrado de la suma, el cuadrado de la diferencia y el producto de la suma por la diferencia. Este método refleja cómo los griegos relacionaban el álgebra con figuras geométricas, permitiéndonos visualizar estas identidades de una forma más intuitiva.
Las identidades notables
Si tenemos un cuadrado cuyos lados miden l=(a+b) , su área estará dada por::
Área = (a + b)^2
Sin embargo, el valor del área no se altera si el cuadrado se divide en varias regiones. En otras palabras, el área total del cuadrado siempre será igual a la suma de las áreas de las partes en las que lo descomponemos.
La descomposición que nos interesa, se obtiene al dividir cada lado del cuadrado en segmentos de longitud a y b, respectivamente, tal como se muestra en la siguiente figura.
De esta manera, obtenemos dos cuadrados: uno de lado a y otro de lado b, cuyas áreas son a^2 y b^2 , respectivamente. Además, se forman dos rectángulos idénticos, ambos con lados a y b, por lo que cada uno tiene un área de a\cdot b .
Por lo tanto, la suma de todas estas áreas nos da:
(a+b)^2 = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2
Ejemplos y Ejercicios
1) Halla el desarrollo de las siguientes identidades notables
a) \qquad (x + 3)^2
(x \textcolor{red}+3)^2=x^2 \textcolor{red}+ 2·x·3 + 3^2 = \\ \qquad \\
\quad = x^2 \textcolor{red}+ 6x + 9b) \qquad (x - 3)^2
(x\textcolor{red}-3)^2=x^2 \textcolor{red}- 2·x·3 + 3^2 = \\ \qquad \\
\quad = x^2 \textcolor{red}- 6x + 9c) \qquad (x - 3)(x + 3)
(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 -9
d) \qquad (2x + 3)^2
(2x \textcolor{red}+3)^2=2^2x^2 \textcolor{red}+ 2·2x·3 + 3^2 = \\ \qquad \\
\quad = 4x^2 \textcolor{red}+ 12x + 9e) \qquad (2x - 3)^2
(2x \textcolor{red}-3)^2=2^2x^2 \textcolor{red}- 2·2x·3 + 3^2 = \\ \qquad \\
\quad = 4x^2 \textcolor{red}- 12x + 9f) \qquad (2x - 3)(2x + 3)
(2x - 3)(2x + 3) =2^2x^2 - 3^2 \\ \qquad \\ \qquad \qquad \qquad \quad=4x^2-9
g) \qquad (5x + 2y)^2
(5x \textcolor{red}+2y)^2=5^2x^2 \textcolor{red}+ 2·5x·2y + 2^2y^2 = \\ \qquad \\
\qquad = 25x^2 \textcolor{red}+ 20xy + 4y^2h) \qquad (5x - 2y)^2
(5x \textcolor{red}-2y)^2=5^2x^2 \textcolor{red}- 2·5x·2y + 2^2y^2 = \\ \qquad \\
\qquad = 25x^2 \textcolor{red}- 20xy + 4y^2i) \qquad (5x - 2y)(5x + 2y)
(5x - 2y)(5x + 2y) =5^2x^2 - 2^2y^2 \\ \qquad \\ \qquad \qquad \qquad \quad=25x^2-4y^2
j) \qquad (3x - 4t)^2
(3x \textcolor{red} - 4t)^2=3^2 x^2 \textcolor{red}- 2·3x·4y + 4^2t^2 = \\ \qquad \\
\qquad = 9x^2 \textcolor{red}+ 24xt + 16t^2k) \qquad (-2x - 3t)^2
(\textcolor{red} -2x \textcolor{red} - 3t)^2=(\textcolor{red}-1)^2 (2x \textcolor{red} + 3t)^2 = \\ \qquad \\
= 2^2 x^2 \textcolor{red}+ 2·2x·3t + 3^2t^2 \\ \qquad \\
= 4x^2 \textcolor{red}+ 12xt + 9t^2