1) Preguntémonos primero: ¿Cuáles son los números racionales?
1.1) Números Racionales.
Los números racionales son aquellos que se pueden escribir de la forma {\color{darkorange} \frac{ a}{ b} } donde \textcolor{darkorange}{a} y \textcolor{darkorange}{b \neq 0 } son enteros. Es decir, son aquellos que se pueden escribir en forma de fracción:
Conjunto de los números racionales. En notación matemática los elementos de un conjunto se escriben entre llaves. Aclarar que, en un conjunto con una cantidad finita y/o pequeña de elementos estos suelen escribirse literalmente, en otros casos no queda otro remedio que describirlos, eso es lo que se ha hecho aquí. Por cierto, en este caso la barra vertical se lee: “tal que”
En la antigua Grecia intentaron identificar los números con la geometría (veremos luego que esto no les fue posible) en el sentido de identificar las razones de longitudes de segmentos con las razones de números enteros (aunque solo los enteros positivos, es decir, los naturales).
En términos actuales, pensaron inicialmente que:
- (1) La razón de dos segmentos era siempre un número racional (es decir el cociente de dos números enteros positivos) y viceversa
- (2) Cualquier número racional se puede poner como razón de dos segmentos
Entendían, en la Antigua Grecia, que la razón de dos segmentos {\color{darkorange} \frac{ a}{ b} } coincide con la fracción {\color{darkorange} \frac{m}{ n} } si la longitud de {\color{darkorange} n } segmentos {\color{darkorange} a } coincide con la longitud de {\color{darkorange} m } segmentos {\color{darkorange} b } . En términos actuales si {\color{darkorange} m·b = n·a } ,
1.2) Representar un número racional.
La condición (2) es totalmente cierta. Para ellos, no suponía mucho problema representar en una recta real los números racionales. Por ejemplo, para representar la fracción
\frac{13}{5} = 2+ \frac{3}{5}en la recta real con la unidad ya establecida
Se puede proceder de la siguiente manera. Primero: tomamos otra recta oblicua que pase por la parte entera de la fracción. Marcamos en ella, 5 unidades (no tienen que ser la misma unidad que en la recta inicial).
Después, de estas 5 unidades tomamos 3. Y de esta forma hemos logrado construir \frac{3}{5} en la segunda recta.
Para concluir, por semejanza de triángulos, estos \frac{3}{5} pueden ser llevados a la recta inicial. Y de esta forma construimos un segmento de longitud \frac{13}{5} de la unidad prefijada inicialmente.
La razón de un segmento de longitud \frac{13}{5} unidades y un segmento unidad es precisamente \frac{13}{5} . Puedes ver la construcción paso a paso en este video.
2) ¿Qué Propiedades cumplen los números racionales?
¿Qué podemos decir sobre los números racionales que ya sepamos y/o podamos saber a los 12 años?
2.1) Operaciones en los números racionales.
En los números racionales:
- a.1) Tenemos una operación que se llama suma: +. Y que cumple las propiedades de:
\textrm{ Asociatividad:} \qquad \qquad \\
(x+y)+z = x+(y + z)(3+4)+7=3+(4+7)
\textrm{ Conmutatividad:} \qquad \qquad \\
x+y = y + x3+11=11+3
- a.2) Tenemos un elemento que llamamos cero: {\color{darkorange} 0} .
- Al sumar un número con cero obtenemos el mismo número.
- Todo número tiene un opuesto, es decir otro número que al sumar ambos el resultado es cero.
3+0=3=0+3
7+(-7)=0=(-7)+7
Estas propiedades las cumplen también los números enteros. Los números naturales no las cumplen todas porque, por ejemplo, no hay ningún numero natural que al sumarle 7 el resultado sea cero.
- b.1) Tenemos una operación que llamamos producto, ·. Que cumple:
\textrm{ Asociatividad:} \qquad \qquad \\
(x·y)·z = x·(y · z)(3·4)·7=3·(4·7)
\textrm{ Conmutatividad:} \qquad \qquad \\
x·y = y · x3·11=11·3
- b.2) Existe un elemento que llamamos uno, {\color{darkorange} 1} .
- Al multiplicar un número por 1 obtenemos el mismo número.
- Todo número tiene un inverso, es decir otro número que al multiplicar ambos el resultado es 1.
\frac{7}{3}·1=\frac{7}{3}=1·\frac{7}{3}\frac{3}{5}·\frac{5}{3}=1=\frac{5}{3}·\frac{3}{5}b.3) 1 \neq 0 .
Por otro lado, lo números enteros no cumplen todas estas propiedades, porque hay números enteros que no tienen inversos. No hay ningún número natural que al multiplicarlo por 2 nos de como resultado 1.
c) El producto es distributivo sobre la suma
(3+4)·7=3·7+4·7
(x+y)·z=x·z+y·z \quad \textrm{ Distributividad}2.2) Relación de orden en los números racionales.
Otro elemento importante que satisfacen los números racionales es que para ellos tenemos definida una relación de orden total.
- d.1) Tenemos una relación de orden total, ≤. Esto es que dado dos números x e y se cumple que x ≤ y o bien se cumple que y ≤ x.
- d.2) Esta relación de orden es compatible con las operaciones suma y multiplicación, esto es que:
x\leq y \Rightarrow x+z \leq y + z
x < y, \, 0< z \, \Rightarrow \, x·z \leq y·z
Cualquier conjunto con operaciones de sumas y multiplicación que cumplen las propiedades a) – c) y con una relación de orden total cumpliendo d) entonces este conjunto tiene que ser el conjunto de los números racionales o lo contiene.
3) Al Fin: Números Reales.
3.1) Como No definir los números irracionales.
Definir los números irracionales como los números que no son racionales (es decir, que no se pueden escribir en forma de fracción) no es en realidad una definición. Porque en este caso estamos asumiendo que hay algo más aparte de los números racionales, siendo ese algo más lo que queremos definir e incluso demostrar o justificar que existe. Y más aún, encontrar motivos para llamarles números.
En la Antigua Grecia tuvieron que admitir que la razón de dos segmentos NO era siempre un número racional, es decir no se cumple (1) en 1.1) y no se puede identificar las razones de longitudes de segmentos con la razones de números enteros. A saber, la razón de la diagonal de un cuadrado de lado unidad y la longitud del propio lado no es posible escribirla en forma de fracción
La demostración de que la diagonal del cuadrado unidad no es posible ponerlo en forma de fracción probablemente fue incluida en el original del Libro X de los Elementos de Euclides. Pero, en la Antigua Grecia no admitieron que √2, por ejemplo, fuese un número. Si lo hubiesen hecho estarían admitiendo a los números irracionales. En realidad, todo sería más sencillo si estos “números” no fuesen necesarios. Pero lo son.
Puedes ver en gaussianos algunas demostraciones (relativamente fáciles) de que el número, cuyo cuadrado es dos, no es racional. Este número lo denotamos hoy en día simplemente por √2.
3.2) Los números Reales
En la segunda mitad del siglo XIX era un hecho la necesidad de ampliar rigurosamente el conjunto de los números racionales no solo para que, por ejemplo, la ecuación
x^2 -2 = 0
tenga solución, o más general, para que dicha ampliación contuviese las soluciones de cualquier ecuación polinómica de coeficientes racionales como la anterior (los llamados números algebraicos).
O incluso, que dicha ampliación contenga números que ni siquiera sean soluciones de ecuaciones polinómicas de coeficientes racionales como la longitud de una circunferencia de radio 1, es decir el número 2π, o el número e (estos números son llamados números trascendentales).
El motivo principal de la definición rigurosa del número real en esta época, hay que buscarlo en la necesidad de la fundamentación de los problemas del análisis matemático, relacionados por ejemplo con el límite y continuidad de funciones o más concretamente con el teorema de Bolzano o los valores intermedios (visto en 2º Bachillerato).
La diferencia esencial del conjunto de los números reales con el conjunto de los números racionales es que los números reales forman un conjunto numérico “completo”, no dejan “huecos” en la recta real.
Por ejemplo:
Si representamos \sqrt{13} en la recta real estamos representando un segmento de esta longitud pero no existe un número racional que la represente porque sencillamente \sqrt{13} no es racional.
Primero: en la recta real, pasando por 3 unidades trazamos una recta perpendicular.
Segundo: en la perpendicular tomamos dos unidades iguales a las de la recta real original. Entonces hemos construido un triángulo rectángulo de catetos 3 y 2 unidades respectivamente.
Por el teorema de Pitágoras la hipotenusa mide \sqrt{13} . Con un compás llevamos esta longitud a la recta original.
Si en la recta real representamos todos los números racionales en la posición que ocupa \sqrt{13} debe haber un “hueco” o “vacío”. Precisamente los números reales lo que hacen es “llenar” o “completar” todos esos huecos que dejan los números racionales.
3.3) Una construcción (definición) de los números reales.
Para definir los números reales y/o construir un “modelo” de ellos debemos dejar claro lo que queremos. Y en este caso lo que verdaderamente queremos es un conjunto en el cual:
- Estén definidas operaciones de suma y multiplicación y una relación de orden.
- Que las operaciones anteriores y la relación de orden cumplan las propiedades que se cumplen en el caso de los números racionales y descritas en el apartado 2).
- Que contenga a los números racionales.
- Y que no dejen “huecos”.
Pero antes debemos destacar que en Matemáticas no nos importan “lo que son” los objetos matemáticos sino como ellos se comportan, como ellos se relacionan. Un objeto matemático puede ser descrito de varias formas distintas. Un mono con pantalón verde y el mismo mono con pantalón rojo sigue siendo eso, un mono. Al final, estamos hablando de objetos que habitan en ese mundo platónico de las matemáticas al cual no tenemos acceso a través de sentidos como la vista, el tacto,…
Cortaduras de Dedekind.
Tomemos el conjunto
A=\left\{ x\in \mathbb{Q} \, \, |\quad x>\frac{2}{3}\right\} 
y podemos ver que cumple las siguientes propiedades
- A no es vacío porque por ejemplo 1 \in A . Y A \neq \mathbb{Q} porque 0 \notin A .
- Cualquier elemento mayor que uno de A también está en A .
- Para cualquier elemento de x \in A siempre hay otro elemento de A más pequeño que x .
Cualquier subconjunto de los números racionales que cumpla las tres propiedades anteriores es llamado “Cortadura de Dedekind“, escribimos C.D.
En el ejemplo, el número racional \frac{2}{3} define la Cortadura de Dedekind A . En realidad, cualquier número racional define una C.D como A .
Pero hay Cortadura de Dedekind que no están definidas a partir de ningún número racional, como por ejemplo
B =\left\{ x\in \mathbb{Q} \, \, |\quad x>0,\,x^2 >2 \right\} Pues bien, se puede demostrar que el conjunto
\mathbb{R} = \left\{ D \subset \mathbb{Q} \, \, |\quad D \textrm{ es una C.D.} \right\} puede ser tomado como el conjunto de los números reales.
Para ello deberíamos definir en ese conjunto operaciones de suma y multiplicaciones y definir una relación de orden total. Pues bien, todo esto es posible y además demostrarse que se cumplen nuestras pretensiones 1) y 2) anteriores. Además, también se cumple 3), esto es que los Números Reales contienen a los números racionales, en el sentido que identificamos cada número racional con la C.D que este define.
4. Algunos números No Racionales.
El número π.
Es cierto que es menos posible que supieran que el número π es irracional.
Definimos, como los antiguos griegos, a π como el cociente de la longitud de una circunferencia y su diámetro.
Puedes leer más sobre π aquí. Pero no fue hasta 1761 o quizás 1766 que Johann Heinrich Lambert (1728 -1777 ) demostrara la irracionalidad de este número. Puedes ver una demostración de su irracionalidad en el siguiente Video de Eduardo Cabezón (muy difícil para bachillerato).
Bibliografía
- Morris Kline. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times I – 1972
- Ríbnikov, K., Historia de las Matemáticas (Mir, 1987).
- Bloch, Ethan D., The Real Numbers and Real Analysis (Springer, 2011). amazon.com
[…] en la demostración de ciertas propiedades de las funciones continuas. Si quiere sigue leyendo aquí sobre el tema. Pero, podemos decir que sin los números reales la […]