Primero: una progresión aritmética es una sucesión. Pero, donde cada término se obtiene del anterior sumándole una cantidad fija. Por ejemplo:
En este caso podemos observar que el segundo término se obtiene del primero sumándole 7. Después, el tercer término se obtiene del segundo sumando nuevamente 7, y así sucesivamente …
Segundo: la diferencia de cada par de términos consecutivos de la sucesión siempre es la misma, un término menos el anterior es siempre la misma, en nuestro ejemplo
El segundo término menos el primero es 7, el tercer término menos el segundo es 7 y así sucesivamente …
En resumen, una progresión aritmética es cualquier sucesión que cumple las siguientes afirmaciones equivalentes:
- Es una sucesión donde cada término se obtiene del anterior sumándole una cantidad fija, d.
- Es una sucesión donde cada término menos el anterior siempre es una cantidad fija, d.
Puedes ver aquí la similitud con una progresión geométrica.
Formula de Recurrencia
Cuando hablamos de un término genérico de la sucesión no nos referimos a aquel que está en la posición 3, es decir y_3 , ni a aquel que está en la posición 20, es decir y_{20} . Nos referimos a aquel que está en una posición genérica n , es decir y_n .
Entonces cada término genérico y_n se obtiene del anterior, es decir y_{n-1} sumándole una cantidad constante d, esto es que:
y_n = y_{n-1} + dFormula de Recurrencia: recibe este nombre porque para determinar un nuevo término de la sucesión recurrimos al anterior.
En nuestro ejemplo:
y_n = y_{n-1} + 7
Formula de Recurrencia
Término General
Llamamos término general a cualquier expresión, usualmente matemática, que nos permita calcular un término genérico y_n , a partir únicamente de la posición que este ocupa, es decir n . A diferencia de la fórmula de recurrencia que necesita el conocimiento de términos anteriores de la sucesión para calcular este elemento genérico y_n .
El término que ocupa la posición n se obtiene del primer término sumándole (n-1)d .
y_n = y_1 + (n-1)d
En nuestro ejemplo
y_n = y_1 + 7(n-1)
Para hallar el término general de la sucesión, veamos el razonamiento seguido en la imagen.
Cada término de la sucesión puede ser obtenido sumándole al primer término una d menos que la posición que este ocupa. El término séptimo se obtiene del primero sumando 6d , (7-1 = 6).
Ejercicios:
Ejercicio 1: Encontrar el término general y la fórmula de recurrencia de la progresión aritmética con términos
a_1 = 7 \qquad a_5 = 19
Solución:
Para la fórmula de recurrencia necesitamos conocer d porque a_1 =7 ya lo conocemos:
a_n = 7 + (n-1)·d
entonces
Ejercicio 2. Encontrar el término general y la fórmula de recurrencia de la progresión aritmética con términos
a_2 = 11 \qquad a_6 = -1
Solución 1 (Intuitiva)
Para la fórmula de recurrencia necesitamos conocer d .
De la imagen del ejercicio podemos observar que a_6 puede ser obtenido de a_2 sumando 4d , entonces
a_{6} = a_{2} + 4d \Rightarrow 4d = a_{6} - a_{2} \Rightarrow \\ \quad
\\ 4d =-1-11 \quad \Rightarrow \quad d=\frac{-12}{4}=-3 Formula de recurrencia:
a_n = a_{n-1} - 3Para determina el término general necesitamos además el primer elemento de la sucesión a_1 . Pero de la formula de recurrencia anterior
a_2 = a_1 -3 \Rightarrow a_1 =a_2 +3 \Rightarrow \\ \quad a_1 =11 +3 = 14
Entonces el término general es:
a_n = 14 - 3(n-1)
Solución 2 (más analítica)
De igual manera necesitamos conocer d , pero en este caso determinaremos a la vez a a_1 . Partimos de la formula de recurrencia
a_n = a_1 + d(n-1)
y sustituimos los elementos que conocemos, es decir a_2 y a_6 obteniendo:
\left\{ \begin{array}{l}
\, \,11 = a_1 + d
\\ -1 = a_1 + 5d
\\
\end{array}\right.observemos que n=2 y n=6 respectivamente.
Entonces resolvemos el sistema de ecuaciones. Obteniendo a_1 = 14 y d = -3 . Entonces
Fórmula de recurrencia
a_n = a_{n-1} - 3Término general:
a_n = 14 - 3(n-1)
[…] Las progresiones son un caso particular de sucesiones. Y tenemos varias, aritméticas, geométricas, armónicas etc. Pero esto te o cuento en Primero: ¿Qué son las Progresiones Geométricas? […]