¿Qué son las Progresiones Geométricas?

Primero: una progresión geométrica es una sucesión, pero donde cada término se obtiene del anterior multiplicando una cantidad fija:

Podemos observar que el segundo término se obtiene del primero multiplicándolo por 3. Después, el tercer término se obtiene del segundo multiplicándolo por 3, y así sucesivamente …

Segundo: la razón de cada par de términos consecutivos de la sucesión siempre es la misma (un término partido el anterior).

El segundo término partido el primero es 3, el tercer término partido el segundo es 3 y así sucesivamente …

En resumen, una progresión geométrica es cualquier sucesión que cumple las siguientes afirmaciones equivalentes:

1. Es una sucesión donde cada término se obtiene del anterior multiplicando una cantidad fija, r.
2. Es una sucesión donde cada término partido el anterior siempre es una cantidad fija, r.

Formula de Recurrencia

El término que está en la posición n  se obtiene del término que está en la posición n-1 (la posición anterior) multiplicándolo por r:

y_n = y_{n-1} ·r

Término General

Veamos el siguiente razonamiento:

y_5 = y_1 · r^4;     \quad      y_6 = y_1 · r^5;      \quad          y_7 = y_1 · r^6;   ... 

Cada término de la sucesión se obtiene del primero multiplicando por r  varias veces. Una vez menos que la posición que este término ocupa.

Y en ejemplo ejemplo

y_n = y_1 · 3^{n-1}

Primer ejercicio de ejemplo

Encontrar el término general y la fórmula de recurrencia de una progresión geométrica con términos

a_1 = 10       \qquad      a_2 = 2

Solución: Para dar solución al problema, necesitamos primero conocer la razón r, entonces

\frac{a_{2}}{a_{1}}=r     \qquad      \Longrightarrow       \qquad        \frac{2}{10}=\frac{1}{5}=r

después, como es conocido el primer término, concluimos que

a_n = a_{n-1} · \frac{1}{5} \qquad a_n =  10 · \left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}

Segundo ejercicio de ejemplo.

Como en el ejercicio anterior, se pide encontrar el término general y la fórmula de recurrencia de una progresión geométrica. Pero, en esta ocasión son dados los términos

a_3 = 12       \qquad      a_6 = 96

Del mismo modo, que resolvimos el anterior problema, primero calculamos la razón r:

\frac{a_{6}}{a_{3}}=r^3     \qquad      \Longrightarrow       \qquad        \frac{96}{12}=8=r^3   \qquad      \Longrightarrow       \qquad  r =\sqrt[3]{8}=2

Después, necesitamos conocer el primer término

a_3 = a_1 · r^2     \qquad      \Longrightarrow       \qquad        a_1 = \frac{a_3}{r^2} = \frac{12}{4}=3  

En consecuencia:

a_n = a_{n-1} ·2 \qquad a_n =  3 · 2^{n-1}

Una primera y sencilla aplicación de las progresiones Geométricas.

Los bancos a través de las cuentas bancarias llamadas de “Ahorro” pagan intereses a sus clientes. Es decir, el dinero de la cuenta es aumentado de acuerdo al “tipo de interés”.

Concretamente, los ahorros del cliente aumentarán de acuerdo el factor (1+i), siendo i el tipo de interés ante mencionado.

Por ejemplo, si el tipo de interes es del 5%, el factor de incremento es (1 + 0,05) = 1,05. Y si en el banco el cliente dispone en el mes de enero de 1000 euros en el mes de febrero dispondrá de 1000 · 1,05 = 1050 euro.

En el ejemplo hemos supuesto que los pagos se realizan mensualmente. Pero esto es algo que depende de la cuenta de Ahorro del cliente.

En conclusión, el dinero en la cuenta de Ahorro forma una progresión geométrica en el transcurso del tiempo:

Enero: 1000e – Febrero: 1000·1,05 = 1050e – Marzo: 1050·1,05 = 1000·1,05² = 1102,50e …