Se Ha Celebrado: ¡Olimpiada de Matemáticas de Centro!

Problema 1: Para un trabajo de matemáticas los alumnos de una clase saben que no se pueden agrupar de dos en dos porque en ese caso queda uno sin agruparse. Lo mismo ocurre si se agrupan de tres en tres y de cinco en cinco. ¿Cuántos alumnos tiene la clase si esta es la menor cantidad que cumple esta propiedad?

Solución:

En el planteamiento del problema nos preguntan por la cantidad de alumnos que tiene una clase de alumnos.

A grandes rasgos y según el enunciado esta cantidad es la menor de las cantidades que cumplen una determinada propiedad.

La cantidad en cuestión no es divisible entre dos, ni entre tres, ni entre cinco. Más aún, según el enunciado en cada uno de los casos esta división deja resto 1.

Podemos observar que si fuesen 7 alumnos al agruparlos de dos en dos queda uno sin agrupar. Al agruparlos de tres en tres queda uno sin agrupar. Esto es así porque 6 es múltiplo de 2 y 3 (es en realidad, el mínimo común múltiplo de 2 y 3). Pero 7 = 6 + 1, por lo que al dividir 7 entre 2 y 3 respectivamente deja resto 1. Es además, el más pequeño que deja resto 1 al dividirlo entre 2 y 3.

Para resolver el problema, queremos encontrar el menor número, que deja resto 1, al dividirlo entre dos, tres y cinco. El que deja resto cero al realizar esta divisiones es el mínimo común múltiplo de estos tres números, 30 = 2·3·5. Pues el siguiente número es el número buscado.

31 = 2·3·5 + 1.

Es la cantidad de alumnos que tiene la clase.

Problema 2: En la olimpiada a nivel de centro del IES Julián Marías están participando 17 alumnos de 1ro de la ESO, 24 alumnos de 2do, 9 alumnos de 3ro y 15 alumnos de 4to. ¿Cuántos alumnos como mínimo deben terminar el examen para estar seguros de que han terminado 11 del mismo curso?

Solución:

Nuevamente en este problema nos preguntan por una cantidad natural.

En la versión más simple el Principio de Dirichlet afirma que si se tienen mas palomas que palomares entonces necesariamente en un palomar tiene que haber más de una paloma.

En nuestro problema necesitamos una versión algo más general que la anterior. Pero observemos que aunque hayan salido 39 alumnos puede darse el caso de que aún no hayan salido 11 alumnos del mismo curso.

10 alumnos de 1ro, 10 alumnos de 2do, 9 alumnos de tercero (no hay más) y 10 alumnos de 4to. Hacen los 39 alumnos.

Pero, al salir el siguiente será necesariamente de 1ro, 2do o de 4to. Completando así 11 alumnos del mismo curso.

Respuesta: 40 alumnos.

Problema 3: Calcula el número de cifras que tiene el número que se obtiene al efectuar el producto:

N=2^{39}·25^{22} 

Solución:

No debe ser casual que la descomposición en factores primos del número N, los únicos que aparezcan sean el 2 y el 5.

Descomponiendo en factores primos al 25, 25 = 5^2 y aplicando propiedades de las potencias

N=2^{39}·(5^2)^{22}=2^{39}·5^{44}

Como multiplicar por potencias de 10 nos lleva a añadir ceros al final del número, aplicando propiedades de las potencias tenemos que

N=2^{39}·5^{39}·5^{5}=3125·(2·5)^{39}=3125·10^{39}

Respuesta: 43 dígitos

Problema 4: En la figura, AB = AC y AD = AE calcula el ángulo xº

Solución

Los datos del problema afirman que los triángulos \triangle ABC y \triangle ADE son isósceles. Pero hay destacar que no menciona que el ángulo \angle BAC sea igual a 90º y es que no tiene que serlo.

Por ser el triángulo \triangle ABC isósceles tenemos que \angle ACB = \angle ABC = \beta .

Por otro lado el ángulo exterior \angle AED es igual a la suma de los ángulos interiores y no adyacentes a él en el triángulo \triangle CDE . Luego

\angle AED = x + \beta

Por ser el triángulo \triangle ADE isósceles tenemos que \angle ADE = \angle AED = x + \beta

Para terminar, como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º entonces

\angle BDA =180 - \beta - 30 = 150 - \beta

y como el ángulo \angle BDC es llano:

(150 - \beta) + (\beta + x) + x = 180

de donde

2x=180-150=30

Respuesta: x=15º

Problema 3: Selecciona un número impar, elévalo al cuadrado y réstale 1; comprueba que es múltiplo de 8. Demuestra que esta propiedad es válida para cualquier número impar.

Solución:

La primera parte de este problema es mu fácil, tomemos n = 9 y entonces

n^2 - 1 = 9^2 -1 = 81 - 1 = 80 = 8·10

Una primera vía para demostrar la segunda parte es percatarnos que para n impar, n - 1 y n + 1 son pares consecutivos por lo que uno de ellos debe ser además múltiplo de 4. Entonces el producto de ellos debe ser múltiplo de 8 y como

n^2 - 1 = (n - 1)(n+1)

entonces n^2 - 1 es múltiplo de 8.

Una segunda vía sería percatarnos que todo número impar es de la forma

n = 2m +1

para cierto m entero, entonces

n^2 - 1 = (2m + 1)^2 - 1 = 4m^2 +4m + 1 - 1 = \\ 
\\ \quad 
\\ = 4m(m+1)

y como m o m + 1 debe ser par, el resultado sigue.

Solución:

Para calcular esta suma podemos reescribirla como:

N = [(1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + (5^2 - 6^2) + \\ \qquad  ... + (99^2 - 100^2)]  + \\ 
\qquad \qquad + (4+8+12+⋯+200)

Pero cada una de las diferencias que están entre paréntesis son diferencias de cuadrados

(1^2 - 2^2) = (1-2)(1+2)=-1·3=-3 \\
(3^2 - 4^2) = (3-4)(3+4)=-1·7=-7\\
(5^2 - 6^2) = (5-6)(5+6)=-1·11=-11\\
...\\
(99^2 - 100^2) = (99-100)(99+100)=-199

Entonces

N = (-3 -7-11- ... -199) + \\ 
\qquad \qquad + (4+8+12+⋯+200)

reescribiendo nuevamente esta suma

N=(-3+4)+(-7+8)+(-11+12)+\\ 
...+ (-199 + 200) = \\
1 + 1 + 1 + ...+1 = 50

Observemos que en el primer paréntesis está el 4, en el último 200 y en cada paréntesis hay un múltiplo de 4. Luego, estaremos sumando un 1 por cada múltiplo de 4, desde 4·1 hasta 4·50, es decir estamos sumando 50 unos.