Ordinaria 2021.

Problema 1 de Análisis

Representar la función

f(x)=e^{(x^2)}

, determinando antes sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas.

Solución

Dominio y Asíntotas

\circledcirc

El dominio de esta función es:

Dom(f)=\mathbb{R}

, donde es continua y derivable por ser composición de una exponencial y una cuadrática.

\circledcirc

La función no tiene asíntotas verticales, pues estas hay que buscarlas en valores

x=a

, donde alguno de los límites laterales debe ser

+\infty

-\infty

y esta función es continua en

\mathbb{R}

\circledcirc

Para las asíntotas horizontales y/o oblicuas debemos analizar lo que ocurre cuando

x

tiende a

+\infty

-\infty

, es decir el comportamiento de la gráfica para los valores de

x

“suficientemente” grandes:

\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}f(x) = \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}e^{(x^2)}= \infty \\ \qquad \\ \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{f(x)}{x} = \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{e^{(x^2)}}{x}=\underset{Indet.}{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}\overset{L'Hopit.}{=}\\ \, \\ =\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}2xe^{(x^2)}=\infty

Nota: $m=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{f(x)}{x}$ , es la pendiente de la asíntota oblicua, si este límite es fínito.

\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}f(x) = \underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}e^{(x^2)}= \infty \\ \quad \\ \underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\frac{f(x)}{x} = \underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\frac{e^{(x^2)}}{x}=\underset{Indet.}{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}\overset{L'Hopit.}{=}\\ \, \\ =\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}2xe^{(x^2)}=-\infty

entonces concluimos que la función no tiene asíntotas horizontales ni oblicuas.

Monotonía

\circledcirc

Para el estudio de la monotonía y los puntos extremos analicemos la primera derivada de la función:

f'(x)=2xe^{(x^2)} =0 \Rightarrow x=0 \\ \, \\ {\color{darkorange}x=-1 \in (-\infty,0)} \\ f'(-1)= -2e < 0 \\ \quad \\ {\color{darkorange}x=1 \in (0,\infty)} \\ f'(1)= 2e >0

Entonces concluimos que $f(x)$ es decreciente en el intervalo $(-\infty, 0)$ y creciente en el intervalo $(0, \infty)$ . A partir de aquí, también concluimos que tiene un mínimo relativo y absoluto en el punto $(0,1)$ , $f(0)=e^{0}=1$ . Y no tiene máximos relativos.

Curvatura:

\circledcirc

Para el estudio de la curvatura y los puntos de inflexión analizamos la segunda derivada de la función:

f''(x)=2e^{(x^2)} + 4x^2e^{(x^2)}=2(2x^2+1)e^{(x^2)}>0 \qquad \qquad

Entonces concluimos que $f(x)$ es cóncava en todo $\mathbb{R}$ y no tiene puntos de inflexión.

Esbozo de la función

Figura: Wolfram Alpha

Figura: Geogebra

Problema 2 de Análisis

Calcula

\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{e^{x}-x-\cos(3x)}{\textrm{sen}^{2}x}

Solución

\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{e^{x}-x-\cos(3x)}{\textrm{sen}^{2}x}=\underset{Indet.}{\left(\frac{0}{0}\right)}\overset{L'Hopit.}{=}\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{e^{x}-1+3\textrm{sen}(3x)}{\textrm{sen}(2x)}=\\ \, \\ =\underset{Indet.}{\left(\frac{0}{0}\right)}\overset{L'Hopit.}{=}\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{e^{x}+9\cos3x}{2\cos(2x)}=\frac{10}{2}=5

Problema 3 de Análisis

a) Dadas las funciones

f(x)=x^2

g(x)=-x^2 + 8

, hallar los valores de

x\in\mathbb{R}

para los que

g(x)\geq f(x)

(0,5 puntos)
b) Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones

f(x)

g(x)

. (1,5 puntos)

Solución

a) Tomemos la función auxiliar $h(x) = g(x) - f(x)$ , entonces $h(x) \geq 0 \Leftrightarrow g(x) \geq f(x)$ . Analicemos el signo de la función $h(x)$

h(x) =-x^2 + 8 - x^2 =-2x^2 +8=0 \Rightarrow \\ \, \\ \Rightarrow x=\pm2

-3\in(-\infty,-2), \, h(-3)=-10<0 \\ 0\in(-2,2), \, h(0)=8>0 \\ 3\in(2, \infty), \, h(3)=-10<0

entonces $h(x) = g(x) \geq f(x) \Leftrightarrow x\in [-2, 2]$ .

b) Las funciones $g(x)$ y $f(x)$ se cortan en los puntos de abscisas $x=\pm2$ y es entre estos puntos donde las gráficas de estas dos funciones encierran el área pedida, entonces

Área = \left| \intop_{-2}^{2}g(x) - f(x)dx \right|= \intop_{-2}^{2}-2x^2 +8 dx

en la segunda igualdad hemos omitido el valor absoluto, porque en este intervalo el integrando es positivo:

Área = \left. \frac{-2x^3}{3} + 8x\right]^2_{-2}= \left( \frac{-16}{3} + 16\right) - \left( \frac{16}{3} - 16\right) = \frac{64}{3} u^2

Problema 4 de Análisis

Hallar los valores de

a, b

c

para los cuales el polinomio

P(x)=ax^2 + bx +c

cumple las siguientes condiciones:
1)

P(0)=1

2) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de

P(x)

x=0

m=1

.
3)

\intop_{0}^{2}P(x)dx=12

(2 puntos)

Solución

Exijamos una a una las condiciones que debe cumplir este polinomio de segundo grado:

1) \quad 1=P(0)=c \Rightarrow c=1

Para la segunda condición, recurrimos a la interpretación geométrica de la derivada, entonces:

P'(x) =2ax+b \\ \ \\ 2) \quad 1=m=P'(0)=b \Rightarrow b=1 \\ \, \\

De estas dos condiciones tenemos que

P(x)=ax^2 +x +1

entonces la tercer condición nos queda

3) \quad 12=\intop_{0}^{2}P(x)dx=\intop_{0}^{2}ax^2 +x+1dx = \\= \left. \frac{ax^3 }{3}+ \frac{x^2}{2}+x\right]^2_0 = \\ =\left(\frac{8a }{3}+ 2+2\right) -0= \frac{8a }{3}+ 4 \quad \Rightarrow \\ \, \\ 12=\frac{8a }{3}+ 4 \quad \Rightarrow \quad a=3

Entonces $a=3, b=1$ y $c=1$ .