Ejercicio 1
| a) Calcula la distancia del punto A(1,0,0) al plano que pasa por P(1,-1,-2) y es paralelo al plano \qquad \qquad \pi:x+2y+3z+6=0. b) ¿Qué ángulo forma la recta, r, que pasa por A y P con el plano \pi? c) Determina la ecuación de la recta simétrica a r respecto de \pi. |
Solución al apartado a)
a) Determinemos la ecuación del plano, \pi' , que pasa por P y es paralelo a \pi . El haz de planos paralelos a \pi está dado por
x+2y+3z+D=0
entonces 1+2·(-1)+3·(-2)+D=0 y D=7.
\pi':x+2y+3z+7=0
Para el calculo de la distancia de A a \pi' usamos:
d(A,\pi')=\frac{\left|1+2·0+3·0+7\right|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}}=\frac{8}{\sqrt{14}}=\frac{8\sqrt{14}}{14}=\frac{4\sqrt{14}}{7}u
Solución al apartado b)
El vector director de la la recta r es \overrightarrow{d_{r}}=\overrightarrow{PA}=\left(0,1,2\right) (también puede tomarse su opuesto \overrightarrow{AP}, que no hemos tomado por razones obvias) y el vector normal de \pi está dado por \overrightarrow{n_{\pi}}=\left(1,2,3\right), entonces
sen\left(\alpha\right)=\frac{\left|\overrightarrow{d_{r}}·\overrightarrow{n_{\pi}}\right|}{\left|\overrightarrow{d_{r}}\right|\left|\overrightarrow{n_{\pi}}\right|}=\frac{0+2+6}{\sqrt{1+4}\sqrt{1+4+9}}=\frac{8}{\sqrt{70}}=\frac{4\sqrt{70}}{35}donde \alpha es el ángulo buscado. Entonces \alpha=arcsen\left(\frac{4\sqrt{70}}{35}\right)=72,78\text{º} . Ver el cálculo en: WolframAlpha
Solución al apartado c)
Para determinar la recta simétrica a r respecto de un plano \pi, al que corta, debemos buscar los simétricos de dos puntos de r con respecto de \pi. Mejor aún, uno de los puntos simétricos, a buscar, puede ser el punto de corte. El punto de corte es el simétrico de si mismo respecto al plano. Más información aquí.
Se da una solución alternativa, a partir de los simétricos de dos puntos, donde ninguno de ellos es el punto de corte.
Denotamos por A' y P', a los simétricos respecto al plano \pi, de A y de P, respectivamente. Al punto de corte de r con \pi lo denotamos por T.
1) Simétrico de A.
Necesitamos la proyección ortogonal de A(1,0,0) sobre \pi. La recta perpendicular a \pi que pasa por A, s_A, tiene vector director \overrightarrow{d}=\overrightarrow{n_{\pi}}=(1,2,3) y su ecuación paramétrica es:
s_{A}\equiv\left\{ \begin{array}{l}
x=1+t\\
y=2t\\
z=3t
\end{array}\right.
Para que Q_{A}(1+t,2t,3t)\in s_{A}\cap\pi se debe cumplir que:
(1+t)+2(2t)+3(3t)+6=0 \Rightarrow
\\ \qquad \Rightarrow 7+14t=0
\Rightarrow t=\frac{-1}{2}y Q_{A}\left(\frac{1}{2},-1,-\frac{3}{2}\right). Como Q_{A} también es el punto medio del segmento \overline{AA'}:
\small A'(x,y,z)\Rightarrow Q_{A}\left(\frac{x+1}{2},\frac{y}{2},\frac{z}{2}\right)=Q_{A}\left( \frac{1}{2},-1,-\frac{3}{2} \right)luego x=0,y=-2 y z=-3 obteniendo \boxed{A'(0,-2,-3)}.
2) Punto de corte de r con \pi: T\in r\cap\pi.
\overrightarrow{d_{r}}=\overrightarrow{AP}=(0,1,2)\Rightarrow r\equiv\left\{ \begin{array}{l}
x=1\\
y=t\\
z=2t
\end{array}\right.1+2t+3(2t)+6=0\Rightarrow7+8t=0\Rightarrow t=\frac{-7}{8}y T(1,\frac{-7}{8},\frac{-7}{4}).
2′) Simétrico de P: expande
Proyección ortogonal de P(1,-1,-2) sobre \pi. La recta perpendicular a \pi que pasa por P tiene vector director \overrightarrow{d}=\overrightarrow{n_{\pi}}=(1,2,3), entonces
s_{P}\equiv\left\{ \begin{array}{l}
x=1+t\\
y=-1+2t\\
z=-2+3t
\end{array}\right.(1+t)+2(-1+2t)+3(-2+3t)+6=0\Rightarrow \\ \Rightarrow -1+14t=0\Rightarrow t=\frac{1}{14}y Q_{P}(\frac{15}{14},\frac{-6}{7},\frac{-25}{14}). Como Q_{P} también es el punto medio del segmento \overline{PP'}
P'(x,y,z)\Rightarrow \\ Q_{P}\left(\frac{x+1}{2},\frac{y-1}{2},\frac{z-2}{2}\right)=Q_{P}\left( \frac{15}{14},\frac{-6}{7},\frac{-25}{14}\right)luego x=\frac{8}{7},y=\frac{-5}{7} y z=\frac{-11}{7} obteniendo \boxed{P' \left( \frac{8}{7},\frac{-5}{7},\frac{-11}{7} \right) }
Determinando la recta simétrica: r'
Con cualquier par de los puntos de A', P' y T podemos construir la recta r':
\overrightarrow{A'P'}=(\frac{8}{7},\frac{9}{7},\frac{10}{7}),\quad\overrightarrow{A'T}=(1,\frac{9}{8},\frac{5}{4})y tomando como vector director a \overrightarrow{d_{r'}}=7\overrightarrow{A'P'}=8\overrightarrow{A'T}=(8,9,10) tenemos que
r'\equiv\left\{ \begin{array}{l}
x=8t\\
y=-2+9t\\
z=-3+10t
\end{array}\right.\quad o\quad r'\equiv\left\{ \begin{array}{l}
x=\frac{8}{7}+8t\\
y=\frac{-5}{7}+9t\\
z=\frac{-11}{7}+10t
\end{array}\right.o\quad r'\equiv\left\{ \begin{array}{l}
x=1+8t\\
y=\frac{-7}{8}+9t\\
z=\frac{-7}{4}+10t
\end{array}\right.