¡Navegantes! Elementos Iniciales de Geometría.

0. Introducción

Esta entrada pretende ser la base inicial de un curso de geometría. Donde se enuncian los principios “básicos” y/o “iniciales” de la geometría. Demostrándose solo algunos de los resultados a modo de ejemplo y con fines didácticos. El enfoque axiomático que le hemos dado es principalmente para poner de manifiesto la coherencia matemática. Aspecto importante en el pensamiento matemático.

En el primer apartado recordamos brevemente los axiomas de incidencia y como estos permiten definir las rectas coincidentes, secantes y paralelas. Se enuncian los axiomas de orden y como ellos permiten definir los elementos más básicos de la geometría: segmentos, ángulos y triángulos.

En el segundo apartado se enuncian los axiomas de congruencia. Que permiten definir la congruencia de triángulos y demostrar los criterios de congruencia. Permiten la clasificación de los triángulos según sus lados y una caracterización de los triángulos isósceles.

1. Sobre los axiomas: axiomas de orden en la geometría euclídea.

En la entrada “(1) ¡Navegantes!…” hablamos de los axiomas del “Plano” y en particular sobre los “axiomas de incidencia“. Un axioma es una afirmación que se asume verdadera sin demostración.

Los tres axiomas de incidencia fueron suficientes para definir la posición relativa entre puntos y rectas. Permiten demostrar que solo tres casos son posibles con respecto a la posición relativa entre dos rectas, permitiendo definir:

Definición: Si dos rectas tienen en común dos puntos (tendrán en común todos sus puntos) diremos que son “coincidentes“. Si tienen en común un solo punto diremos que son “secantes” o que “se cortan“. Pero, cuando no tienen ningún punto en común diremos que son “paralelas“.

Desplegar para ver los 3 axiomas de incidenciaContraer

1. Cada par de puntos distintos A y B “pertenecen” o “están sobre” una única recta, a esta la denotamos por r_{AB} o simplemente r .
2. Cada recta “pasa por” al menos dos puntos diferentes.
3. Existen al menos tres puntos, que no “están” los tres “sobre” una misma recta. En este caso decimos que estos tres puntos no son colineales.

Rectas Secantes

Rectas Paralelas

Con los axiomas solo se postulan las relaciones y propiedades esenciales que determinan los objetos de la geometría. En todo caso, debería justificarse que la teoría que se desarrolla a partir de ellos es consistente (libre de contradicciones). Puedes leer más sobre esto aquí. Con los axiomas pretendemos “Solo Decir lo que Hay que Decir”.

Axiomas de Orden

En los tres primeros de estos axiomas (el primero lo he dividido en 1.a y 1.b) lo que se hace es “definir” la relación “estar entre“, refiriéndose a 3 puntos diferentes que están sobre una misma recta. Precisamente el axioma 1.a, ya establece que si tres puntos están regidos por la relación “estar entre” tienen que ser distintos y ser colineales. En cambio 1.b establece que decir que un punto “está entre” los puntos A y B es lo mismo que decir que “está entre” B y A .

Al leer los axiomas puede que nos salga una sonrisa y pensemos “Claro, ¿para qué me dices estas cosas?“. Entonces, desde el punto de vista de Euclides, los axiomas están cumpliendo su papel. Estas cosas “tan básicas” son las únicas que tenemos que decir para describir la geometría del mundo físico que percibía, con sus sentidos y/o su tecnología, Euclides. Todo lo demás se obtiene de ellas.

Elementos de la geometría euclídea.

La relación “está entre” permite definir los elementos geométricos: segmentos, interior del segmento, exterior del segmento, semirrectas, semiplanos y ángulos.

En el tercer axioma basta afirmar que existen dos puntos en el exterior, uno a cada lado, de un segmento para demostrar la existencia de puntos interiores. Más aún, para demostrar la existencia de “infinitos” puntos interiores e infinitos puntos exteriores.

Puntos C y D exteriores al segmento AB. Punto E interior al segmento AB.

Segmento AB, de extremos A y B.

Semirrecta h de origen A.

Ángulo de vértice A y lados; h y k.

Escribimos \angle(h, k) o \angle BAC , siendo B un punto de la semirrecta h y C un punto de k. O cuando no hay ambigüedad simplemente \angle A .

Definición: Tres puntos A , B y C no colineales (que no están sobre la misma recta) definen lo que llamamos triángulo y escribimos \triangle ABC . Además:

1. A los puntos A , B y C les llamamos vértices del triángulo.
2. Los lados del triángulo son indistintamente las rectas y los segmentos determinados por cada par de vértices.
3. Los ángulos interiores del triángulo son los ángulos cuyo vértice es un vértice del triángulo y cuyos lados son las semirrectas que contienen respectivamente a los otros dos vértices del triángulo.
4. En cambio, los ángulos exteriores del triángulo son los ángulos que tienen por vértice a un vértice del triángulo y por lados dos semirrectas: una que contiene a otro vértice y la otra no.
5. Por último, el interior del triángulo son los puntos que son interiores a los tres ángulos interiores del triángulo.

El cuarto axioma deja la puerta abierta a que ningún punto, de tres puntos distintos sobre una misma recta, esté entre los otros dos. Pero esto se demuestra, a partir de los axiomas, que no puede suceder.

4to axioma de orden

Dado un triángulo \triangle ABC y una recta r que pasa por algún punto interior del lado AB y que no pasa por C entonces también pasará, o bien por algún punto interior del lado AC o bien por algún punto interior del lado BC .

Este axioma no descarta la posibilidad “trivialmente falsa“, según nuestra intuición, de que la recta r pase por puntos interiores de ambos lados, AC y BC . Que esto no ocurre se puede demostrar a partir de los axiomas y es conocido como Teorema de Pasch.

2. Axiomas de congruencia. Igualdad de Triángulos

Axiomas de congruencia

Los axiomas de congruencia establecen la relación “ser congruente” o “iguales” refiriéndose a segmentos y ángulos.

El primero de estos axiomas establecen que sobre cualquier semirrecta y desde su origen se puede construir un un único segmento “congruente” a otro segmento dado, sea lo que sea que signifique esto. El segundo afirma que si dos segmentos son congruentes a un tercero entonces ellos tienen que ser congruentes entre si. Estos dos axiomas garantizan también que todo segmento es congruente a si mismo.

Desplegar para ver estos axiomasContraer

1. Sean A y B puntos distintos y s una semirrecta con origen C . Existe en s un único punto D tal que el segmento AB es congruente con CD y escribimos AB\equiv CD .
2. Si los segmentos A'B' y A''B'' son congruentes al mismo segmento AB entonces A'B' es congruente a A''B'' .
3. Sea C un punto interior del segmento AB sobre la recta r . Sea C' un punto interior del segmento A'B' sobre la recta r' . Si AB\equiv A'B' y BC\equiv B'C' entonces AC\equiv A'C' .

1er Axioma de Congruencia.

El cuarto axioma

tiene la misma naturaleza que el primero. En este caso se afirma, que dado un ángulo y una semirrecta se puede construir otro ángulo congruente al primero y donde uno de sus lados sea la semirrecta dada. Pero eso sí, de tal manera que el otro lado del ángulo esté en uno de los semiplanos prefijado de antemano.

Desplegar para ver el 4to axiomaContraer

Sean \angle(h,k) un ángulo en el plano, h’ una semirrecta de r’ de origen O y A’ un punto que no está en r’. Existen una única semirrecta k’ de origen O tal que los puntos interiores del ángulo \angle(h',k') quedan al mismo lado que A’ respecto de r’ y tal que \angle(h,k) es congruente con \angle(h',k').

Igualdad o congruencia de triángulos.

Para Euclides dos figuras planas son iguales o congruentes si al superponer una de ellas sobre la otra, mediante un “movimiento“, estas coinciden. Pero, no establece que es un “movimiento” en sus axiomas y los utiliza en sus primeras proposiciones. Tampoco define que significa superponer. Estas son ideas que obtenemos de la experiencia de nuestra interrelación con el mundo físico. Pero en realidad, a partir de los axiomas de congruencia podríamos ahora definir que entender por “movimientos”.

Por otro lado, como todo polígono puede ser descompuesto en triángulos el estudio de la congruencia de estos últimos queda justificada.

Si partimos de nuestra experiencia del mundo físico, nos resulta trivial que al superponer dos triángulos estos coinciden si y solo si coinciden sus lados y sus ángulos. Esto lo podemos tomar como definición de triángulos iguales o congruentes.

Definición

Los triángulos \triangle ABC y \triangle A'B'C' decimos que son iguales si:

AB \equiv A'B', \quad BC \equiv B'C', \quad AC \equiv A'C' 
\\ \quad \\
\angle A \equiv \angle A', \quad \angle B \equiv \angle B', \quad \angle C \equiv \angle C' \quad

Es común que los ángulos sean nombrados por letras griegas:

\alpha = \angle A, \, \beta = \angle B y \gamma = \angle C .

Como hemos dicho antes, aquí no tenemos establecido que significa superponer dos triángulos y no lo haremos. En su lugar, el 5to axioma de congruencia establece de forma formal lo que asumimos como cierto cuando superponemos los triángulos.

5to axioma de congruencia

Este axioma nos establece lo que nuestra intuición nos indica. Que si dos triángulos tienen un par de lados respectivamente iguales y los ángulos formados por ellos también son iguales entonces ambos triángulos coinciden. Pero, vemos que en el axioma no hay necesidad de exigir tanto, basta exigir que los otros dos pares de ángulos son también respectivamente iguales. Aquí una vez más “Decimos solo lo que hay que decir“. La igualdad de los terceros lados se puede entonces demostrar como teorema y así la igualdad de los triángulos. Este teorema es criterio lll que es enunciado luego.

Teorema: (Criterios de congruencia de Triángulos.) Los triángulos \triangle ABC y \triangle A'B'C' son iguales o congruentes si se cumplen alguno de los siguientes criterios equivalentes

1. Sus tres lados son respectivamente congruentes
   • AB \equiv A'B', \quad BC \equiv B'C', \quad AC \equiv A'B'
2. Tienen dos ángulos respectivamente iguales y el lado adyacente a ambos lados respectivamente igual.
   • Por ejemplo: \angle A \equiv \angle A', \quad \angle B \equiv \angle B', \quad AB \equiv A'B'
3. Tienen dos lados respectivamente iguales y el ángulo comprendido entre ellos también respectivamente iguales.
   • Por ejemplo: AB \equiv A'B', \quad AC \equiv A'C', \quad \angle A \equiv \angle A'

En este punto, ya somos capaces de clasificar los triángulos según sus lados:

Teorema: En un triángulo, \triangle ABC con lados AB y AC congruentes, es isósceles si y solo si se cumple que “los ángulos de la base” \angle ABC y \triangle ACB son congruentes.

Para ver el potencial de la congruencia de triángulos en “Conoce el Teorema de Pitágoras…” puedes ver una demostración de este teorema basándose en áreas en el cual se asume (aunque allí no se dice explícitamente) que triángulos congruentes (iguales) tienen la misma área.

3. Consecuencias de los Axiomas de Incidencia, Orden y Congruencia.

Enunciaremos en este apartado algunos resultados a los que recurrimos a lo largo de este curso y cuya demostración es directa a partir de los axiomas. Pero lo más importante es que a su vez algunos de estos nos permiten definir otros conceptos fundamentales:

1. Si dos ángulos son congruentes entonces sus adyacentes también lo serán. Una semirrecta con su origen en una recta define dos ángulos llamados adyacentes.
2. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Dos ángulos opuestos por el vértice son los formados al cortarse dos rectas y que no son adyacentes entre ellos.
3. Existen ángulos que son congruentes con sus adyacentes. Estos ángulos son llamados ángulos rectos.
4. Todos los ángulos rectos son congruentes entre sí.
5. Todo segmento puede ser dividido en dos segmentos iguales (congruentes). El punto del segmento que lo separa en dos segmentos congruentes se llama punto medio.

Podemos definir entonces las medianas de un triángulo como las rectas determinadas por cada vértice y el punto medio del lado opuesto.

Bibliografía

1. Geometría Superior. MIR. N. V. Efímov. Archive.org
2. Geometría, Desarrollo Axiomático. Ana Berenice Guerrero. Google