“Sucesiones”: el primer paso para lo “discreto”.
1. Concepto de Sucesión.
Imagínate que en tu clase todos los chicos y chicas se llamasen María por lo que decidimos llamar a esta “la clase María“, en vez de 3ºC o cualquier otro nombre que usualmente se les da a las clases en un instituto.
Si lo anterior no fuera poco suponer y siendo probable que en tu clase no hayan más de 40 alumnos, también supondremos que la cantidad que sois es “ilimitada” o “infinita“.
¿Qué debemos entender por “ilimitada” o “infinita“?
Pues, que si el profesor decidiera mandar a la pizarra a todos los alumnos, uno a uno, nunca acabaría. Más exactamente, si en algún momento pensara que lo ha logrado, enseguida se percataría que hay un alumno que no ha ido aún a la pizarra y lo podría mandar.
¿Cómo podríamos diferenciar los alumnos de esta clase?
La respuesta la podemos tener haciendo uso de los apellidos. Y lo ideal sería que estos apellidos fuesen los números naturales. Además, decidimos poner estos apellidos como subíndices:
Este es un detalle importante sobre lo que es una sucesión. En nuestro ejemplo estamos hablando de la sucesión que llamaremos: María (como la clase).
Pero más importante, es que lo que está escrito anteriormente no son los elementos de la sucesión de alumnos, sino solo sus nombres. Porque, los elementos de esta sucesión, son de carne y hueso, están sentados en sus sillas, sentados a sus mesas y están en un habitáculo “infinitamente” grande para que puedan caber todos.
Y este es el otro detalle importante sobre que es una sucesión. Una cosa son los nombres de los elementos de la sucesión (María1, María2, …) y otra cosa es lo que son o quienes son los elementos de esta. En este caso chicos de carne y hueso, que les gusta todavía jugar, aunque sea a los videojuegos.
Ejemplo
En este ejemplo procedemos al revés. Primero mostramos los elementos de una sucesión y después hablamos de sus nombres. Entonces, sea pues, la siguiente sucesión de frutas:
y el nombre (muy corto) que le damos es: F (de fruta). Solo una letra, y podemos nombrar sus elementos por:
¿Sabrías decir, cuales son los dos términos que siguen en esta sucesión?
F_1, \quad F_2, \quad F_3, \quad F_4, \quad F_5, ...
Donde F1 es un plátano, F2 es un plátano, F3 es una piña, F4 es un plátano y así sucesivamente. Los dos términos que siguen en la sucesión son F8 un plátano y F9 una piña.
Ejemplo numérico
Llamemos a esta sucesión X, entonces
X_1 = 1, \quad X_2=4, \quad X_3=9, \quad X_4=16, \quad X_5 = 25, \quad ...
¿Sabrías decir, cuales son los dos términos que siguen?
2. Formas de describir los términos de una sucesión.
El Término General
de una sucesión numérica es una expresión algebraica que depende solo de la posición n que ocupa el término x_n y que nos permite su cálculo.
En el ejemplo numérico anterior podemos ver que:
y concluir que su Término general es:
X_1 = 1^2 = 1, \quad X_2 = 2^2 = 4, \quad X_3 = 3^2 = 9, \quad X_4 = 4^2 = 16,
\quad X_5 = 5^2 = 25, \quad X_6 = 6^2 = 36, \quad x_7 = 7^2 = 49 \quad...
La Fórmula de Recurrencia
de una sucesión es una expresión algebraica en la que se recurre a términos anteriores de la sucesión al término genérico x_n y que nos permite su cálculo.
Otro ejemplo numérico:
Hagamos las siguientes observaciones. El término anterior al octavo es el séptimo (8 – 1), es decir antes del termino Y8 está el término Y8-1. Antes del término Yn está el término Yn-1 y antes de este el término Yn-2.
Esta sucesión muy famosa es conocida como la sucesión de Fibonacci (enlace) y cada término se obtiene sumando los dos anteriores.
El tercer término es la suma del segundo y el primer término (1 + 1 = 2), el cuarto término se obtiene sumando el tercero y el segundo término (2 + 1 = 3) …
y_3=y_2 +y_1 = 1 + 1 = 2, \quad y_4 = y_3 + y_2 = 2 + 1 = 3
y_5 = y_4 + y_3 = 3+ 2 = 5, \quad y_6 = y_5 + y_4 = 5 + 3 = 8 , ...
y_n = y_{n-1} + y_{n-2}3. ¿Qué son las …?
Las progresiones son un caso particular de sucesiones. Y tenemos varias, aritméticas, geométricas, armónicas etc. Pero esto te o cuento en ¿Qué son las Progresiones Aritméticas?, ¿Qué son las Progresiones Geométricas?
[…] una progresión aritmética es una sucesión. Pero, donde cada término se obtiene del anterior sumándole una cantidad fija. Por […]
[…] una progresión geométrica es una sucesión, pero donde cada término se obtiene del anterior multiplicando una cantidad […]