Caminando Entre las Matemáticas. Sus Grandes Misterios. (2)
1. Realismo Matemático: El “Mundo Platónico de las Matemáticas”.
La cuestión de si las matemáticas son inventadas o descubiertas es un tema filosófico que ha generado grandes debates a lo largo del tiempo. No hay un consenso absoluto, y se han propuesto distintas perspectivas sobre este tema. Y una de ellas es: “El Realismo Matemático”.
Desde esta perspectiva del “Realismo Matemático”, las matemáticas son descubiertas, no inventadas. Los matemáticos exploramos y revelamos propiedades y relaciones que ya existen en un “mundo matemático” independiente de la mente humana. El “Mundo Platónico de las Matemáticas”.
“Creo que la realidad matemática está fuera de nosotros, que nuestra función es descubrirla u observarla, y que los teoremas que demostramos, y que describimos grandilocuentemente como nuestras “creaciones”, son simplemente las notas de nuestras observaciones.
Godfrey Harold (G.H.) Hardy
Este punto de vista está respaldado por la Consistencia (libre de contradicciones) y Universalidad de las matemáticas. Esta consistencia y universalidad sugieren que las verdades matemáticas son independientes de la cultura, el tiempo y el espacio, lo que induce a que están arraigadas en una realidad objetiva.
Por ejemplo:
el Teorema de Pitágoras era tan verdadero antes de la época de Pitágoras, como en su época y tanto como ahora. Hay evidencias que el teorema fuera conocido antes de Pitágoras, como se nuestra en la siguiente tablilla de barro. Esta se cree que fue creada por un estudiante en el sur de Mesopotamia entre los años 1800 – 1600 a. C.
Imagen tomada de Wikipedia. Y muestra una tablilla de barro, reconocida por contener una aproximación de \sqrt{2} equivalente a seis cifras decimales .
Puedes ver una demostración del Teorema de Pitágoras aquí. Que afirma que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa (lado más largo) coincide con la suma de los cuadrados de los catetos (los otros dos lados).
Pero lo verdaderamente significativo que se le atribuye a Pitágoras (570-490 a.c.), y otros “matemáticos” contemporáneos con él, no es el descubrimiento de este teorema sino el hecho de que empezaron a concebir la idea de demostración matemática.
El teorema de Pitágoras ha sido verdadero siempre, incluso antes de que existieran seres humanos que lo “formularan”, utilizaran y demostraran.
2. Formalismo Matemático.
Euclides, siglo III a.c.,
es conocido fundamentalmente por su obra “Los Elementos”. Esta obra, es uno de los textos matemáticos más influyentes de la historia y ha sido utilizado como libro de texto durante siglos. Pero, un aspecto fundamental de esta es el proceso de axiomatización de la geometría que se desarrolla en ella.
El primero de los 13 libros, en los que está dividido “Los Elementos”, está precedido de 23 definiciones. Inmediatamente después, se exponen los postulados y axiomas (hoy en día todos son llamados axiomas), es decir, afirmaciones que se aceptan sin demostración. Después, Euclides comienza a demostrar nuevos resultados llamados Teoremas. (seguir leyendo sobre esto aquí: (1) ¡Navegantes! Esto es Geometría. Los Axiomas).
En el fascinante libro de Mario Livio: “¿Es Dios un Matemático?”, y que recomiendo mucho, hay varios detalles en los que no estoy de acuerdo. Aquí cito uno por su relación con este tema:
“Arquímedes liberó a la matemática de las cadenas más bien artificiales que Euclides y Platón le habían impuesto. Para ellos sólo había una forma de hacer matemáticas“
En relación a Euclides, son pocas las cosas que sabemos de él y su trabajo. Ni siquiera los 13 libros de los Elementos han llegado hasta nuestros días. Por tanto, es muy duro presuponer que el objetivo de Euclides fuera establecer como deberíamos trabajar en matemáticas y muchos menos que esta halla sido la forma en que lo entendiera el resto de matemáticos. Lo único objetivo que tenemos es lo que él hizo, la axiomatización de la geometría, el resto es interpretación nuestra.
David Hilbert (1862 – 1943) en el año 1899, más de 20 siglos después de Euclides, publica su obra:
“Fundamentos de la geometría” donde realiza una “formalización axiomática” y rigurosa de la geometría euclidiana. Se da cuenta que una característica que debe cumplir su sistema axiomático es la independencia. Esto es que los axiomas no deben ser redundantes, si uno se puede deducir del resto, simplemente se quita.
Otra característica que Hilbert observo que debería cumplir su sistema axiomático es la consistencia, coherencia o compatibilidad (son sinónimos). Esto es que no se puede demostrar que una afirmación es verdadera y demostrar que es falsa a la vez. Hilbert no logra demostrar esto explícitamente para su sistema axiomático de la geometría. Pero si reduce la consistencia de su sistema axiomático a la consistencia de la aritmética.
Una tercera propiedad que Hilbert notó que debe cumplir un sistema axiomático es la completitud. Es decir que todo teorema (verdad) es demostrable en ese sistema axiomático.
El programa de axiomatización de Hilbert
fue un esfuerzo sostenido a lo largo de varias décadas para proporcionar una base rigurosa y completa para las matemáticas a través de la formulación de un conjunto finito de axiomas. Hilbert creía que era posible axiomatizar todas las ramas de las matemáticas de manera consistente y completa, lo que significa que todas las afirmaciones verdaderas podrían ser demostradas a partir de estos axiomas y que el sistema no sería contradictorio.
Su idea era reducir las matemáticas a un conjunto finito de axiomas y reglas de inferencia, desde los cuales se podrían derivar todos los demás resultados matemáticos, evitando paradojas.
3) Y entra en escena Kurt Gödel
Sin embargo, Kurt Gödel (1906 – 1978) demostró en la década de 1930 que cualquier sistema axiomático lo suficientemente potente como para incluir la aritmética no puede ser simultáneamente completo y consistente. Es decir, siempre habrá afirmaciones matemáticas verdaderas pero indemostrables dentro de ese sistema axiomático.
Duro golpe al “Formalismo Matemático”. Los teoremas de incompletitud de Gödel muestran limitaciones fundamentales en cualquier intento de axiomatizar completamente las matemáticas de manera completa y consistente. Demuestran que ningún sistema formal puede ser completo en el sentido de demostrar todas las verdades matemáticas, y que incluso la consistencia de un sistema no puede ser demostrada dentro de ese sistema.
Gana puntos el “Realismo Matemático”. Si la formalización de las matemáticas fuera completamente posible según el programa formalista de Hilbert, se podría argumentar en contra de la necesidad de entidades matemáticas independientes, ya que todas las verdades matemáticas podrían derivarse de un conjunto finito de axiomas mediante reglas lógicas formales.
Bajo esta hipótesis, los objetos abstractos, como los números, son simplemente nombres o etiquetas que usamos para describir patrones o regularidades en el mundo. Permitiría argumentar que las afirmaciones matemáticas no se refieren a entidades reales, sino a manipulaciones formales de símbolos. Lo que dejaría sin sentido el “Realismo Matemático”.
4) En que punto estamos
En este paradigma, el “Formalismo Matemático” debe ser entendido, como el medio para explorar y comprender las propiedades esenciales de los objetos y estructuras matemáticas. De esta forma reconocemos las limitaciones del formalismo clásico y lo utilizamos para comprender la naturaleza intrínseca de las estructuras matemáticas, incluso si no se pueden demostrar todos los resultados dentro de un sistema axiomático dado.
