(1) ¡Navegantes! Esto es Geometría. Los Axiomas.

El primero de los 13 libros, en los que está dividido “Los Elementos” de Euclides, esta precedido de 23 definiciones e inmediatamente después, expone los postulados y axiomas (hoy en día todos son llamados axiomas), es decir, afirmaciones que se aceptan sin demostración.

Alguna de estas definiciones son:

Una idea, imagen o representación de que es un punto puede ser un “punto ortográfico”, pero debemos tener en cuenta que por muy pequeño que este sea dibujado ya tiene una extensión.

En Euclides, puede que, estos surjan como el resultado de una determinada abstracción o idealización de los objetos del “mundo físico”. Pero, en las listas de axiomas modernos no se incluyen definiciones o descripciones de los objetos geométricos, en este caso de los llamados “puntos” y “rectas”. En la axiomatización moderna estos elementos no tienen porque ser de una naturaleza especial, ni poseer algún aspecto exterior determinado.

Cualquier intento de describir estos objetos, que pertenecen al “mundo platónico de las matemáticas”, llevara la utilización de metáforas, analogías o comparaciones con cosas conocidas para intentar transmitir una idea de algo que en el fondo es desconocido. Sin embargo, estas descripciones siempre tendrán limitaciones y no capturarán completamente la esencia del objeto en cuestión. Por ello, en las matemáticas modernas no interesa tanto el “¿qué son las cosas?”, sino el “¿cómo están relacionadas?” ya que esta última pregunta es la que podría acercarnos a una respuesta a la primera.

Pintura idealizada de Euclides. Matemático que vivió en Alejandría III AC. Wikipedia.

Esta fue la idea de la que partió Hilbert cuando en 1899 formaliza axiomáticamente la geometría. Hilbert no definió estos objetos, que no tienen porque ser y de hecho no son del mundo físico que percibimos a través de nuestros sentidos, esto le proporcionó la fuerte crítica de Frege que pretendía y que le recriminó que no los describiera o definiera previamente, pero:

1. 3 axiomas de incidencia: en el que se establecen relaciones entre los elementos de la geometría: puntos, rectas (y planos).
2. 4 axiomas de Orden: establecen la relación “estar entre” refiriéndose a puntos.
3. 5 axiomas de Congruencias: que establecen la igualdad y comparación de segmentos y ángulos.
4. Axioma de las paralelas.
5. 2 axiomas del continuo: el axioma de Arquímedes y de completitud.

Los axiomas de incidencia exigidos en la geometría euclídea no son exigidos todos ellos por todas las geometrías. Veremos como estos son enunciados, por ejemplo en la geometría del plano euclídeo y la geometría hiperbólica (conocida también de Lobachevsky), pero no así en la geometría esférica. Todas las anteriores son casos de geometrías bidimensionales y en los axiomas de incidencia quedan establecidos sus elementos “primordiales“: “puntos” y “rectas”.

Las “geometrías bidimensionales” tratan con dos conjuntos de elementos.

Un primer conjunto E que llamaremos Plano y a sus elementos Puntos. Este conjunto puede ser de cualquier naturaleza, cualquier intento de fijarlo nos lleva ya a estar considerando “un modelo” para esta geometría.

Al segundo conjunto, \mathcal{R} , no le daremos ningún nombre explícitamente. Pero, a sus elementos le llamaremos Rectas. Las rectas son conjuntos formados por elementos de E , es decir por puntos. Los elementos de \mathcal{R} son subconjuntos de E .

1er Axioma de incidencia

Cada par de puntos distintos A y B “pertenecen” o “están sobre” una única recta, a esta la denotamos por r_{AB} o simplemente r .

Los puntos I y J están en dos rectas distintas. Se llaman puntos antípodas.

1. La recta r “pasa por“ o “une“ los puntos A y B .
2. Los puntos A y B “están en” o “son de” la recta r .
3. La recta r “contiene” los puntos A y B .

Plano Euclídeo “Modelo” Clásico. Toda la superficie está compuesta por punto y hemos representado solo algunos de color azul. Las rectas representadas están compuesta por los puntos que quedan en el borde de una regla. Satisface los axiomas de incidencia.

Para el Plano de la Geometría de Lobachevsky podemos tener el siguiente “Modelo“. El “Plano” lo conforman los “puntos” que quedan a un lado (en este caso al lado superior) de una recta horizontal. Las “rectas” son:

Que satisfacen los axiomas de incidencia.

“Modelo” de la Geometría Esférica. El “Plano” está compuesta por los “puntos” de la superficie de la esfera. C_1 y C_3 son “rectas“. En este caso las “rectas” están compuesta por los puntos de los “círculos máximos”, es decir los círculos que se obtienen al cortar la esfera con planos que pasan por el centro de esta. C_2 no es una recta.

Esta geometría no satisface el 1er axioma de incidencia. Cada par de puntos distintos A y B “pertenecen” como mínimo a una recta.

Cada recta “pasa por” al menos dos puntos diferentes.

1. Claro, por eso ya fue tomado por Euclides en el siglo III a.c. como un Axioma.
2. Y claro, nos parece trivial porque nuestra experiencia con el mundo físico real, basada en nuestros sentidos, en nuestros limitados sentidos, sencillamente nos reafirman que esto es cierto.
3. Pero, nuestro conocimiento actual del universo, nos sugiere que su geometría es mucho más compleja y distintita a lo que nuestra percepción nos sugiere.

Existen al menos tres puntos, que no “están” los tres “sobre” una misma recta. En este caso decimos que estos tres puntos no son colineales.

Ejemplo: Considerar el “Plano” compuesto solamente por 4 puntos

E=\{A,B,C,D\}

y cada recta está compuesta por solo dos puntos: la formada por A-B , A-D , …, C-D es decir:

\mathcal{R} = \{ \, \{A,B \}, \, \{A, C\}, \, \{A,D \}, \, \{B,C \}, \, \{B,D \},\, \{C,D \}   \}

en total 6 rectas. Puedes verificar que esta geometría cumple los tres axiomas de incidencia.

1. Si dos rectas tienen en común dos puntos distintos o más, por el 1er axioma, tendrán en común todos sus puntos y en este caso son la misma recta y decimos que son “coincidentes“.
2. En el caso contrario tenemos dos rectas diferentes (o no coincidentes) que “contienen” a lo sumo un punto común. En este caso distinguimos las dos situaciones posibles:
   1. Contienen exactamente un punto común, en este caso decimos que las rectas son “secantes” o que se “cortan” en este punto.
   2. No contienen ningún punto común, en este caso decimos que son “paralelas“. Si se exigen solo los axiomas de incidencia no tienen que haber rectas que sean paralelas

Rectas con dos puntos en común son coincidentes.

todo par de recta (círculos máximos) se cortan (en dos puntos antípodas), por lo que no existen rectas paralelas. Los puntos A y B, como se muestra en En la figura, son puntos antípodas.

En cambio, en la hiperbólica por cada punto exterior a una recta pasan infinitas rectas. En la figura por el punto naranja pasan varias rectas (todas en azul) que son paralelas a la recta de color naranja.